Similitude et commutants en dimension 2

Soit $K$ un corps. Pour tout polynôme unitaire $P \in K[X]$ de degré 2, on note $C(P)$ sa matrice compagnon.

On suppose ici que $K = \mathbb{Q}$ . Soit $P \in \mathbb{Q}[X]$ un polynôme unitaire de degré 2 dont le discriminant $\Delta$ est non nul. Montrer que toutes les matrices de $\mathcal{M}_{2}(\mathbb{Q})$ ayant $P$ pour polynôme caractéristique sont semblables entre elles.
On suppose ici que $K = \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ avec $p$ un nombre premier impair. Soit $P \in K[X]$ un polynôme unitaire de degré 2 sans racine multiple dans sa clôture algébrique. Soit $A \in \mathcal{M}_{2}(K)$ une matrice de polynôme caractéristique $P$ . Déterminer la probabilité pour qu'une matrice $B$ choisie uniformément dans $\mathrm{GL}_{2}(K)$ commute avec $A$ . On distinguera deux cas selon la nature des racines de $P$ dans $K$ .

1.

Pour la question 1, rappelez-vous qu'une matrice de $\mathcal{M}_2(K)$ est soit une matrice scalaire, soit semblable à sa matrice compagnon. Observez que le discriminant non nul interdit le cas scalaire.

2.

Pour la question 2, le commutant d'une matrice à polynôme caractéristique sans racine multiple est son bicommutant $K[A]$ .

3.

Dénombrez les éléments inversibles de $K[A]$ en utilisant l'isomorphisme $K[X]/(P) \cong K[A]$ .

4.

Le cardinal de $\mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_p)$ est donné par $(p^2-1)(p^2-p)$ .

Idées clés

•

Lien entre matrice compagnon et réduction de dimension 2.

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Dimension du commutant pour une matrice cyclique.

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Structure de l'algèbre $K[A]$ selon l'irréductibilité du polynôme caractéristique.

Résolution.

Soit $A \in \mathcal{M}_2(\mathbb{Q})$ telle que $\chi_A = P$ . Puisque le discriminant $\Delta$ de $P$ est non nul, $P$ n'a pas de racine double dans $\mathbb{C}$ . Il en résulte que le polynôme minimal $\mu_A$ de $A$ ne peut pas être de degré 1. En effet, si $\deg(\mu_A) = 1$ , alors $A = \lambda I$ avec $\lambda \in \mathbb{Q}$ , ce qui impliquerait $\chi_A = (X-\lambda)^2$ , soit $\Delta = 0$ , ce qui est exclu. Ainsi, le polynôme minimal de $A$ est nécessairement égal à son polynôme caractéristique : $\boxed{\mu_A = \chi_A = P}$ Dans ce cas, $A$ est une matrice cyclique. Il existe donc un vecteur $v \in \mathbb{Q}^2$ tel que la famille $(v, Av)$ soit une base de $\mathbb{Q}^2$ . Dans cette base, la matrice de l'endomorphisme associé à $A$ est exactement la matrice compagnon $C(P)$ . Toute matrice de $\mathcal{M}_2(\mathbb{Q})$ ayant $P$ pour polynôme caractéristique est donc semblable à $C(P)$ . Par transitivité de la relation de similitude : $\boxed{\text{Toutes ces matrices sont semblables entre elles.}}$
Soit $K = \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ . Notons $\mathcal{C}(A)$ le commutant de $A$ dans $\mathcal{M}_2(K)$ . Comme $P$ est sans racine multiple, le polynôme minimal de $A$ est égal à $P$ (par le même argument qu'à la question 1). Le commutant $\mathcal{C}(A)$ est alors égal à l'ensemble des polynômes en $A$ : $\mathcal{C}(A) = K[A] = \{ a I + b A \mid (a,b) \in K^2 \}$ Cette algèbre est isomorphe à $K[X]/(P)$ . Son cardinal est $|K|^2 = p^2$ . Nous cherchons le nombre d'éléments de $\mathcal{C}(A) \cap \mathrm{GL}_2(K)$ , c'est-à-dire les matrices $M \in K[A]$ telles que $\det(M) \neq 0$ . Premier cas : $P$ est irréductible sur $K$ . L'algèbre $K[X]/(P)$ est alors un corps (extension de degré 2 de $K$ ). Tout élément non nul y est inversible. $| \mathcal{C}(A) \cap \mathrm{GL}_2(K) | = p^2 - 1$ Second cas : $P$ est scindé sur $K$ . Comme $\Delta \neq 0$ , $P$ possède deux racines distinctes $\lambda_1, \lambda_2$ dans $K$ . $A$ est alors diagonalisable sur $K$ , et $\mathcal{C}(A)$ est semblable à l'algèbre des matrices diagonales. Une matrice diagonale $\text{diag}(d_1, d_2)$ est inversible si et seulement si $d_1 \neq 0$ et $d_2 \neq 0$ . $| \mathcal{C}(A) \cap \mathrm{GL}_2(K) | = (p-1)^2$ Le cardinal du groupe $\mathrm{GL}_2(K)$ est donné par : $|\mathrm{GL}_2(K)| = (p^2-1)(p^2-p) = p(p-1)^2(p+1)$ Calcul des probabilités : Si $P$ est irréductible : $\mathcal{P} = \frac{p^2-1}{p(p-1)^2(p+1)} = \frac{(p-1)(p+1)}{p(p-1)^2(p+1)} = \boxed{\frac{1}{p(p-1)}}$ Si $P$ est scindé à racines distinctes : $\mathcal{P} = \frac{(p-1)^2}{p(p-1)^2(p+1)} = \boxed{\frac{1}{p(p+1)}}$

Attention à ne pas oublier que la similitude de deux matrices ayant le même polynôme caractéristique n'est vraie en général que si le polynôme est irréductible ou scindé à racines simples. Si $\Delta = 0$ , on peut avoir $A = \lambda I$ et $B = \begin{pmatrix} \lambda & 1 0 & \lambda \end{pmatrix}$ , qui ont le même polynôme caractéristique mais ne sont pas semblables.