Matrices semblables dans leur propre commutant

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ . On définit l'ensemble $E(M)$ comme l'ensemble des matrices de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ qui sont à la fois semblables à $M$ et qui commutent avec $M$ :

E(M) = \{ A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) \mid A \sim M \text{ et } AM = MA \}

Déterminer l'ensemble des matrices

M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})

telles que

E(M)

soit un ensemble fini.

1.

Commencer par le cas où $M$ est une matrice diagonalisable. Utiliser la décomposition de l'espace en sous-espaces propres.

2.

Pour le cas non diagonalisable, utiliser la décomposition de Dunford $M = D + N$ .

3.

Construire une famille continue de matrices $(A_t)_{t \in \mathbb{C}^*}$ appartenant à $E(M)$ en utilisant les propriétés des matrices nilpotentes.

4.

Se rappeler que deux matrices nilpotentes $N_1$ et $N_2$ sont semblables si et seulement si $\forall k \in \mathbb{N}, \dim \ker(N_1^k) = \dim \ker(N_2^k)$ .

Idées clés

•

Stabilité des sous-espaces propres par le commutant.

•

Décomposition de Dunford $M = D + N$ .

•

Invariants de similitude pour les matrices nilpotentes (dimensions des noyaux itérés).

Résolution.

Nous allons montrer que $E(M)$ est un ensemble fini si et seulement si $M$ est diagonalisable. Plus précisément, nous montrerons que si $M$ est diagonalisable, alors $E(M) = \{M\}$ , et si $M$ n'est pas diagonalisable, $E(M)$ est infini.

Cas 1 : $M$ est diagonalisable.

Supposons que $M$ soit diagonalisable. Soit $A \in E(M)$ . Comme $A$ est semblable à $M$ , $A$ est également diagonalisable et possède les mêmes valeurs propres que $M$ avec les mêmes multiplicités.

Puisque $AM = MA$ , la matrice $A$ commute avec $M$ , donc $A$ laisse stables les sous-espaces propres de $M$ . Soit $\lambda \in \text{Sp}(M)$ et $E_\lambda(M) = \ker(M - \lambda I)$ le sous-espace propre associé. On a :

A(E_\lambda(M)) \subset E_\lambda(M)

Soit $A_\lambda$ la restriction de l'endomorphisme associé à $A$ au sous-espace $E_\lambda(M)$ . Sur ce même sous-espace, la restriction de $M$ est l'homothétie $\lambda \text{Id}_{E_\lambda(M)}$ .

Comme $A$ est diagonalisable, sa restriction $A_\lambda$ à un sous-espace stable est également diagonalisable. De plus, les valeurs propres de $A_\lambda$ sont nécessairement des valeurs propres de $A$ . Comme $A$ est semblable à $M$ , la seule valeur propre possible pour $A$ agissant sur $E_\lambda(M)$ est $\lambda$ .

En effet, si $A_\lambda$ possédait une autre valeur propre $\mu \neq \lambda$ , alors la multiplicité de $\mu$ pour $A$ serait supérieure à celle de $M$ , ce qui contredit $A \sim M$ . Ainsi, $A_\lambda$ est une matrice diagonalisable n'ayant que $\lambda$ pour valeur propre. On en déduit :

A_\lambda = \lambda \text{Id}_{E_\lambda(M)}

Ceci étant vrai pour tout $\lambda \in \text{Sp}(M)$ , et puisque $\mathbb{C}^n = \bigoplus_{\lambda \in \text{Sp}(M)} E_\lambda(M)$ , on conclut que $A = M$ . Dans ce cas, l'ensemble $E(M)$ est un singleton :

\boxed{E(M) = \{M\}}

Cas 2 : $M$ n'est pas diagonalisable.

Comme nous sommes sur $\mathbb{C}$ , toute matrice admet une décomposition de Dunford $M = D + N$ avec $D$ diagonalisable, $N$ nilpotente, $DN = ND$ , et $D, N \in \mathbb{C}[M]$ . Puisque $M$ n'est pas diagonalisable, la partie nilpotente est non nulle : $N \neq 0$ .

Pour tout $t \in \mathbb{C}^*$ , posons $A_t = D + tN$ .

Commutation : Comme $D$ et $N$ sont des polynômes en $M$ , $A_t$ est un polynôme en $M$ . Par conséquent, $A_t$ commute avec $M$ .
Similitude : Montrons que $A_t$ est semblable à $M$ . Puisque $D$ et $N$ commutent, $N$ stabilise chaque sous-espace propre $E_\lambda(D)$ de $D$ . Sur chaque $E_\lambda(D)$ , la restriction $N_\lambda$ est une matrice nilpotente. Pour tout $t \neq 0$ , $N_\lambda$ et $tN_\lambda$ sont semblables. En effet, pour toute matrice nilpotente $X$ : $\forall k \in \mathbb{N}, \ker(X^k) = \ker((tX)^k)$ Les dimensions des noyaux itérés sont les mêmes, ce qui caractérise la classe de similitude des matrices nilpotentes. Il existe donc $P_\lambda \in GL(E_\lambda(D))$ tel que $P_\lambda N_\lambda P_\lambda^{-1} = t N_\lambda$ . En recollant ces matrices par blocs, il existe $P \in GL_n(\mathbb{C})$ qui commute avec $D$ (car respectant ses sous-espaces propres) tel que $PNP^{-1} = tN$ . Alors : $P(D+N)P^{-1} = PDP^{-1} + PNP^{-1} = D + tN = A_t$ Ainsi, $A_t \sim M$ .

On a donc $\{A_t \mid t \in \mathbb{C}^*\} \subset E(M)$ . Comme $N \neq 0$ , l'application $t \mapsto D + tN$ est injective. L'ensemble $E(M)$ contient donc une famille infinie de matrices distinctes.

Conclusion.

L'ensemble $E(M)$ est fini si et seulement si $M$ est diagonalisable.

\boxed{M \text{ est diagonalisable}}

Ne pas oublier que la similitude $A \sim M$ impose que $A$ et $M$ aient le même polynôme minimal et les mêmes dimensions de noyaux $\ker(M-\lambda I)^k$ . C'est pour cela que $D+tN$ est semblable à $D+N$ .