Matrices symplectiques et structure du spectre

Soit $n$ un entier naturel non nul. On considère la matrice $J \in \mathcal{M}_{2n}(\mathbb{R})$ définie par blocs :

J = \begin{pmatrix} 0_n & I_n -I_n & 0_n \end{pmatrix}

On étudie l'ensemble des matrices

M \in \mathcal{M}_{2n}(\mathbb{R})

telles que :

M^{\mathrm{T}} J M = J

Calculer le déterminant de la matrice $J$ .
Montrer que toute matrice $M$ vérifiant cette relation est inversible.
Établir que pour une telle matrice $M$ , les matrices $M^{\mathrm{T}}$ et $M^{-1}$ sont semblables.
En déduire que si $\lambda$ est une valeur propre de $M$ dans $\mathbb{C}$ , alors $\frac{1}{\lambda}$ est également une valeur propre de $M$ avec la même multiplicité.

1.

Pour le calcul du déterminant, on pourra effectuer des permutations de colonnes pour se ramener à une matrice diagonale par blocs.

2.

Utiliser la relation de définition et les propriétés du déterminant pour l'inversibilité.

3.

Pour la similitude, isoler $M^{-1}$ dans l'équation de définition en utilisant l'inversibilité de $J$ .

4.

Utiliser le fait que deux matrices semblables ont le même polynôme caractéristique et relier le spectre de $M$ à celui de $M^{\mathrm{T}}$ et $M^{-1}$ .

Idées clés

•

Manipulation de déterminants par blocs.

•

Caractérisation de la similitude par l'existence d'une matrice de passage inversible.

•

Invariance du polynôme caractéristique par similitude et par transposition.

Résolution.

Calculons $\det(J)$ . Nous pouvons transformer $J$ en déplaçant les $n$ dernières colonnes vers les $n$ premières positions. Plus précisément, pour chaque $j \in \{1, \dots, n\}$ , on échange la colonne $C_j$ avec la colonne $C_{n+j}$ . Chaque échange multiplie le déterminant par $-1$ . Comme on effectue $n$ échanges, le déterminant est multiplié par $(-1)^n$ . La matrice obtenue après ces $n$ transpositions est : $J' = \begin{pmatrix} I_n & 0_n 0_n & -I_n \end{pmatrix}$ Le déterminant d'une matrice diagonale par blocs est le produit des déterminants des blocs : $\det(J') = \det(I_n) \times \det(-I_n) = 1 \times (-1)^n = (-1)^n$ Par conséquent, on en déduit : $\det(J) = (-1)^n \times \det(J') = (-1)^n \times (-1)^n = (-1)^{2n}$ $\boxed{\det(J) = 1}$
Soit $M$ vérifiant $M^{\mathrm{T}} J M = J$ . En appliquant le déterminant à cette égalité : $\det(M^{\mathrm{T}}) \det(J) \det(M) = \det(J)$ Comme $\det(M^{\mathrm{T}}) = \det(M)$ et $\det(J) = 1$ , il vient : $(\det M)^2 = 1$ Le déterminant de $M$ est donc non nul ( $\det M \in \{1, -1\}$ ). $\boxed{M \in GL_{2n}(\mathbb{R})}$
Puisque $M$ est inversible, nous pouvons multiplier la relation $M^{\mathrm{T}} J M = J$ par $M^{-1}$ à droite : $M^{\mathrm{T}} J = J M^{-1}$ La matrice $J$ est inversible car $\det(J) = 1$ . En multipliant par $J^{-1}$ à gauche, nous obtenons : $J^{-1} M^{\mathrm{T}} J = M^{-1}$ Cette relation de la forme $P^{-1} A P = B$ prouve la similitude. $\boxed{M^{\mathrm{T}} \sim M^{-1}}$
Notons $\chi_M(X) = \det(X I - M)$ le polynôme caractéristique de $M$ . On sait que deux matrices semblables ont le même polynôme caractéristique. Ainsi : $\chi_{M^{\mathrm{T}}}(X) = \chi_{M^{-1}}(X)$ De plus, le polynôme caractéristique d'une matrice est égal à celui de sa transposée : $\chi_M(X) = \chi_{M^{\mathrm{T}}}(X)$ On en déduit que $\chi_M(X) = \chi_{M^{-1}}(X)$ . Si $\lambda \in \mathbb{C}$ est une valeur propre de $M$ de multiplicité $k$ , alors $\lambda$ est racine d'ordre $k$ de $\chi_M$ . D'après l'égalité précédente, $\lambda$ est racine d'ordre $k$ de $\chi_{M^{-1}}$ . Or, les valeurs propres de $M^{-1}$ sont les inverses des valeurs propres de $M$ . Ainsi, $\lambda \in Sp(M^{-1})$ si et seulement si $\frac{1}{\lambda} \in Sp(M)$ . $\boxed{\lambda \in Sp(M) \iff \frac{1}{\lambda} \in Sp(M)}$ (avec conservation des multiplicités).

Attention à ne pas utiliser la formule $\det \begin{pmatrix} A & B C & D \end{pmatrix} = \det(AD-BC)$ sans précaution. Elle n'est valable que si les blocs commutent (par exemple si $C$ et $D$ commutent). Ici, comme $0_n$ et $I_n$ commutent avec n'importe quelle matrice, elle est applicable mais doit être justifiée.