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Forme quadratique invariante par une matrice de SL2

SL2matrice symétriquevaleur propreinvariantSpectre d'un endomorphisme d'espace de matricesDécomposition symétrique/antisymétrique

Soit MM une matrice appartenant au groupe spécial linéaire SL2(R)\mathrm{SL}_{2}(\mathbb{R}). Démontrer qu'il existe une matrice S∈M2(R)S \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R}), symétrique et non nulle, vérifiant la relation :

tMSM=S{ }^{t} M S M = S

1.

Considérer l'application linéaire Φ:S↦tMSM\Phi : S \mapsto { }^{t} M S M définie sur l'espace des matrices symétriques S2(R)\mathcal{S}_2(\mathbb{R}).

2.

Se ramener à l'étude des valeurs propres de cet endomorphisme en utilisant les valeurs propres de MM dans C\mathbb{C}.

3.

Utiliser la décomposition de M2(R)\mathcal{M}_2(\mathbb{R}) en somme directe des matrices symétriques et antisymétriques.

Idées clés

•

Interpréter l'équation comme la recherche d'un point fixe pour un endomorphisme d'un espace de matrices.

•

Relation entre le spectre de MM et le spectre de l'application X↦tMXMX \mapsto { }^{t} M X M.

•

Exploitation du fait que det⁡(M)=1\det(M)=1 pour garantir la présence de la valeur propre 1.

1. Définition de l'endomorphisme.

Considérons l'espace vectoriel E=M2(R)E = \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) et l'application :

Ψ:{M2(R)→M2(R)X↦tMXM\Psi : \begin{cases} \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) \to \mathcal{M}_2(\mathbb{R})
X \mapsto { }^{t} M X M \end{cases}

Ψ\Psi est clairement une application linéaire. De plus, si SS est une matrice symétrique, on a :

t(Ψ(S))=t(tMSM)=tMtSM=tMSM=Ψ(S){ }^{t}(\Psi(S)) = { }^{t}({ }^{t} M S M) = { }^{t} M { }^{t} S M = { }^{t} M S M = \Psi(S)

L'espace des matrices symétriques S2(R)\mathcal{S}_2(\mathbb{R}) est donc stable par Ψ\Psi. Notons Φ\Phi la restriction de Ψ\Psi à S2(R)\mathcal{S}_2(\mathbb{R}). Nous cherchons à montrer que 11 est une valeur propre de Φ\Phi.

2. Analyse du spectre dans C\mathbb{C.}

Soient λ\lambda et μ\mu les deux valeurs propres (éventuellement complexes et confondues) de la matrice MM. Puisque M∈SL2(R)M \in \mathrm{SL}_2(\mathbb{R}), on a :

det⁡(M)=λμ=1\boxed{\det(M) = \lambda \mu = 1}

On sait que les valeurs propres de l'endomorphisme X↦AXBX \mapsto A X B sont les produits des valeurs propres de AA et de BB. Ici, MM et tM{ }^{t} M ont les mêmes valeurs propres λ\lambda et μ\mu. Ainsi, les valeurs propres de Ψ\Psi sur M2(C)\mathcal{M}_2(\mathbb{C}) sont :

λ⋅λ=λ2,λ⋅μ=1,μ⋅λ=1,μ⋅μ=μ2\lambda \cdot \lambda = \lambda^2,   \lambda \cdot \mu = 1,   \mu \cdot \lambda = 1,   \mu \cdot \mu = \mu^2

Le spectre de Ψ\Psi est donc Sp(Ψ)={λ2,1,1,μ2}\mathrm{Sp}(\Psi) = \{ \lambda^2, 1, 1, \mu^2 \}.

3. Restriction aux matrices symétriques.

L'espace M2(C)\mathcal{M}_2(\mathbb{C}) est la somme directe de l'espace des matrices symétriques S2(C)\mathcal{S}_2(\mathbb{C}) et de l'espace des matrices antisymétriques A2(C)\mathcal{A}_2(\mathbb{C}). Ces deux sous-espaces sont stables par Ψ\Psi.

L'espace A2(C)\mathcal{A}_2(\mathbb{C}) est de dimension 1, engendré par la matrice J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1
-1 & 0 \end{pmatrix}. Calculons Ψ(J)\Psi(J) :

Ψ(J)=tMJM=det⁡(M)J\Psi(J) = { }^{t} M J M = \det(M) J
(Cette propriété est classique pour les matrices 2×22 \times 2 : tMJM=com(M)JM=…{ }^{t} M J M = \mathrm{com}(M) J M = \dots). Comme det⁡(M)=1\det(M) = 1, on a Ψ(J)=J\Psi(J) = J.

4. Conclusion sur le spectre de Φ\Phi.

L'une des deux occurrences de la valeur propre 11 dans le spectre de Ψ\Psi provient de la restriction à A2(C)\mathcal{A}_2(\mathbb{C}). Comme dim⁡M2(C)=4\dim \mathcal{M}_2(\mathbb{C}) = 4, dim⁡S2(C)=3\dim \mathcal{S}_2(\mathbb{C}) = 3 et dim⁡A2(C)=1\dim \mathcal{A}_2(\mathbb{C}) = 1, les valeurs propres de Φ\Phi (restriction à S2\mathcal{S}_2) sont :

Sp(Φ)={λ2,1,μ2}\boxed{\mathrm{Sp}(\Phi) = \{ \lambda^2, 1, \mu^2 \}}

On en déduit que 11 est toujours valeur propre de Φ\Phi. Ainsi, il existe une matrice S∈S2(C)∖{0}S \in \mathcal{S}_2(\mathbb{C}) \setminus \{0\} telle que Φ(S)=S\Phi(S) = S.

Puisque l'application Φ\Phi est définie sur le corps des réels (Φ∈L(S2(R))\Phi \in \mathcal{L}(\mathcal{S}_2(\mathbb{R}))), et que 11 est une valeur propre (racine du polynôme caractéristique qui est à coefficients réels), le noyau de Φ−Id\Phi - \mathrm{Id} n'est pas réduit à {0}\{0\} dans S2(R)\mathcal{S}_2(\mathbb{R}).

∃S∈S2(R)∖{0},tMSM=S\boxed{ \exists S \in \mathcal{S}_2(\mathbb{R}) \setminus \{0\},   { }^{t} M S M = S }

Attention à ne pas oublier que l'endomorphisme global Ψ\Psi agit sur un espace de dimension 4, mais que l'énoncé impose que SS soit symétrique (dimension 3). Il faut bien distinguer laquelle des valeurs propres "1" appartient au sous-espace symétrique.