Diagonalisation explicite de matrices d'ordre 3

On considère les deux matrices réelles suivantes :

A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 0 & 0 & -2 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}   \text{et}   B=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 4 1 & 0 & -8 0 & 1 & 5 \end{pmatrix}

Justifier que la matrice $A$ est diagonalisable sur $\mathbb{R}$ . Déterminer une matrice inversible $P$ et une matrice diagonale $D$ telles que $A = PDP^{-1}$ .
La matrice $B$ est-elle diagonalisable sur $\mathbb{R}$ ? Justifier avec soin.

1.

Calculer le polynôme caractéristique de chaque matrice en cherchant des racines évidentes.

2.

Pour la diagonalisabilité, comparer la multiplicité de chaque valeur propre avec la dimension de l'espace propre associé.

3.

Pour $A$ , déterminer une base de chaque sous-espace propre en résolvant les systèmes linéaires $(A - \lambda I)X = 0$ .

Idées clés

•

Calcul du polynôme caractéristique $\chi_M(X) = \det(XI - M)$ .

•

Condition de diagonalisabilité : $\chi_M$ est scindé et la dimension de chaque sous-espace propre égale la multiplicité de la valeur propre.

•

Résolution de systèmes homogènes pour trouver les vecteurs propres.

1. Étude de la matrice $A$

Déterminons d'abord le polynôme caractéristique de $A$ . En développant par rapport à la première colonne :

\chi_A(X) = \det(XI - A) = \begin{vmatrix} X-2 & -1 & -1 0 & X & 2 0 & -1 & X-3 \end{vmatrix}

\chi_A(X) = (X-2) \left[ X(X-3) - (-1)(2) \right] = (X-2)(X^2 - 3X + 2)

Le trinôme $X^2 - 3X + 2$ admet 1 et 2 comme racines évidentes. Ainsi :

\boxed{\chi_A(X) = (X-1)(X-2)^2}

Le spectre de $A$ est $\text{Sp}(A) = \{1, 2\}$ . La valeur propre 2 est de multiplicité $m_2 = 2$ .

Cherchons le sous-espace propre $E_2(A) = \ker(A - 2I)$ . On résout $(A-2I)X = 0$ :

A - 2I = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 0 & -2 & -2 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}

On remarque immédiatement que les trois lignes sont proportionnelles à la ligne $L_1 : y + z = 0$ . Le système se réduit à l'équation $y = -z$ . L'inconnue $x$ est libre.

E_2(A) = \{ (x, y, -y) \mid x, y \in \mathbb{R} \} = \text{Vect} \left( \begin{pmatrix} 1 0 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 1 -1 \end{pmatrix} \right)

On a $\dim E_2(A) = 2$ , ce qui est égal à la multiplicité de la valeur propre 2. Puisque la valeur propre 1 est simple, on a nécessairement $\dim E_1(A) = 1$ .

Le polynôme caractéristique étant scindé et les dimensions des sous-espaces propres égalant les multiplicités, la matrice $A$ est diagonalisable.

Cherchons $E_1(A) = \ker(A - I)$ . On résout $(A-I)X = 0$ :

A - I = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 0 & -1 & -2 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}

Les deux dernières lignes donnent $y = -2z$ . En remplaçant dans la première : $x - 2z + z = 0 \implies x = z$ .

E_1(A) = \text{Vect} \left( \begin{pmatrix} 1 -2 1 \end{pmatrix} \right)

On en déduit les matrices $P$ et $D$ :

\boxed{D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}   \text{et}   P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 -2 & 0 & 1 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}}

2. Étude de la matrice $B$

Calculons le polynôme caractéristique de $B$ :

\chi_B(X) = \begin{vmatrix} X & 0 & -4 -1 & X & 8 0 & -1 & X-5 \end{vmatrix}

En développant selon la première ligne :

\chi_B(X) = X \begin{vmatrix} X & 8 -1 & X-5 \end{vmatrix} - 4 \begin{vmatrix} -1 & X 0 & -1 \end{vmatrix} = X(X^2 - 5X + 8) - 4

\chi_B(X) = X^3 - 5X^2 + 8X - 4

On remarque que $\chi_B(1) = 1 - 5 + 8 - 4 = 0$ . En factorisant par $(X-1)$ , on retrouve le même polynôme que pour $A$ :

\boxed{\chi_B(X) = (X-1)(X-2)^2}

La matrice $B$ est diagonalisable si et seulement si $\dim \ker(B - 2I) = 2$ . Calculons le rang de $B - 2I$ :

B - 2I = \begin{pmatrix} -2 & 0 & 4 1 & -2 & -8 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}

On observe les deux premières colonnes : elles ne sont pas colinéaires. Le rang est donc au moins 2. Comme $\det(B - 2I) = 0$ (car 2 est valeur propre), le rang ne peut pas être 3.

\text{rg}(B - 2I) = 2

D'après le théorème du rang, $\dim \ker(B - 2I) = 3 - 2 = 1$ .

\boxed{\dim \ker(B - 2I) = 1 < m_2 = 2}

Conclusion : la matrice $B$ n'est pas diagonalisable.

Une erreur classique consiste à affirmer qu'une matrice est diagonalisable dès que son polynôme caractéristique est scindé. C'est faux : il faut impérativement vérifier la dimension des sous-espaces propres pour les racines multiples.