Diagonalisabilité d'une matrice de rang deux

Soit $n \in \mathbb{N}$ tel que $n \geq 2$ . On considère deux vecteurs $a = (a_{1}, \ldots, a_{n}) \in \mathbb{K}^{n}$ et $b = (b_{1}, \ldots, b_{n}) \in \mathbb{K}^{n}$ où $\mathbb{K}$ désigne le corps $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ . On définit la matrice $A \in \mathcal{M}_{n+1}(\mathbb{K})$ par la structure par blocs suivante :

A = \begin{pmatrix} 0 & a_1 & \cdots & a_n b_1 & 0 & \cdots & 0 \vdots & \vdots & (0) & \vdots b_n & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}

Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur $a$ et $b$ pour que la matrice $A$ soit diagonalisable dans $\mathcal{M}_{n+1}(\mathbb{K})$ :

Dans le cas où $\mathbb{K} = \mathbb{C}$ .
Dans le cas où $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ .

1.

On pourra commencer par calculer les puissances de $A$ , notamment $A^2$ et $A^3$ , pour trouver un polynôme annulateur simple.

2.

Alternativement, on peut introduire le plan vectoriel $P = \text{Vect}(e_1, V)$ où $V = \sum_{i=1}^n b_i e_{i+1}$ et étudier l'endomorphisme induit sur ce plan, tout en complétant par l'étude du noyau de $A$ .

3.

Ne pas oublier de traiter séparément le cas où $A$ est nulle.

Idées clés

•

Recherche d'un polynôme annulateur de bas degré.

•

Lien entre diagonalisabilité et racines simples du polynôme minimal.

•

Étude de la dimension du noyau (théorème du rang).

1. Analyse du polynôme annulateur.

Notons $L = (a_1, \dots, a_n) \in \mathcal{M}_{1,n}(\mathbb{K})$ et $C = \begin{pmatrix} b_1 \vdots b_n \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K})$ . La matrice s'écrit $A = \begin{pmatrix} 0 & L C & 0_n \end{pmatrix}$ .

Calculons $A^2$ par produits de blocs :

A^2 = \begin{pmatrix} 0 & L C & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & L C & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} LC & 0 0 & CL \end{pmatrix}

Le terme $LC$ est un scalaire : $LC = \sum_{i=1}^n a_i b_i$ . Notons $\alpha = \sum_{i=1}^n a_i b_i$ .

Calculons maintenant $A^3$ :

A^3 = A \cdot A^2 = \begin{pmatrix} 0 & L C & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha & 0 0 & CL \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & L(CL) C\alpha & 0 \end{pmatrix}

Comme $L(CL) = (LC)L = \alpha L$ , on obtient la relation :

\boxed{A^3 = \alpha A}

Le polynôme $P(X) = X^3 - \alpha X = X(X^2 - \alpha)$ est donc un polynôme annulateur de $A$ .

2. Cas où $\mathbb{K$ = \mathbb{C} $K = C$ .}

L'endomorphisme est diagonalisable si et seulement si son polynôme minimal est scindé à racines simples sur $\mathbb{C}$ .

Premier sous-cas : $\alpha \neq 0$ . Le polynôme $P(X) = X(X - \sqrt{\alpha})(X + \sqrt{\alpha})$ possède trois racines complexes distinctes. Le polynôme minimal de $A$ , divisant $P$ , est donc scindé à racines simples. Dans ce cas, la matrice $A$ est toujours diagonalisable.

Second sous-cas : $\alpha = 0$ . Le polynôme annulateur devient $P(X) = X^3$ . La matrice $A$ est donc nilpotente. Une matrice nilpotente est diagonalisable si et seulement si elle est nulle. Ici, $A = 0$ si et seulement si tous les $a_i$ et $b_i$ sont nuls (c'est-à-dire $L=0$ et $C=0$ ).

Conclusion pour $\mathbb{C$ $C$ :} $A$ est diagonalisable si et seulement si :

\boxed{ \sum_{i=1}^n a_i b_i \neq 0   \text{ou}   A = 0 }

3. Cas où $\mathbb{K$ = \mathbb{R} $K = R$ .}

Sur $\mathbb{R}$ , la condition de diagonalisabilité impose que le polynôme minimal soit scindé sur $\mathbb{R}$ à racines simples.

Premier sous-cas : $\alpha > 0$ . Les racines de $X^2 - \alpha$ sont réelles et distinctes ( $\pm \sqrt{\alpha}$ ), et non nulles. Le polynôme $X(X^2 - \alpha)$ est scindé à racines simples sur $\mathbb{R}$ . $A$ est donc diagonalisable.

Second sous-cas : $\alpha < 0$ . Le polynôme $X(X^2 - \alpha)$ n'est pas scindé sur $\mathbb{R}$ car $X^2 - \alpha$ n'a pas de racines réelles. Le spectre de $A$ sur $\mathbb{C}$ contient des valeurs imaginaires pures. $A$ n'est pas diagonalisable sur $\mathbb{R}$ .

Troisième sous-cas : $\alpha = 0$ . Comme précédemment, $A$ est nilpotente et n'est diagonalisable que si $A = 0$ .

Conclusion pour $\mathbb{R$ $R$ :} $A$ est diagonalisable si et seulement si :

\boxed{ \sum_{i=1}^n a_i b_i > 0   \text{ou}   A = 0 }

L'erreur classique est d'oublier le cas $A=0$ ou de penser que $\alpha \neq 0$ suffit sur $\mathbb{R}$ . Il faut être vigilant sur le fait qu'une matrice peut être diagonalisable sur $\mathbb{C}$ sans l'être sur $\mathbb{R}$ si ses valeurs propres ne sont pas réelles.