Diagonalisabilité et antécédent polynomial

Soit $E$ un $\mathbb{R}$ -espace vectoriel de dimension finie $n \in \mathbb{N}^*$ . On considère un endomorphisme $u \in \mathcal{L}(E)$ tel que l'endomorphisme $v$ défini par $v = u^2 - 4u$ soit diagonalisable.

L'endomorphisme $u$ est-il nécessairement diagonalisable ?

1.

Rappeler le critère de diagonalisabilité faisant intervenir les polynômes annulateurs.

2.

Si $v$ est diagonalisable, il possède un polynôme annulateur scindé à racines simples. En déduire un polynôme annulateur de $u$ .

3.

Étudier les racines réelles du polynôme $X^2 - 4X - \lambda$ selon les valeurs de $\lambda \in \mathbb{R}$ .

4.

Chercher un contre-exemple en dimension 2 en considérant une valeur de $\lambda$ pour laquelle le polynôme précédent admet une racine double ou n'admet pas de racines réelles.

Idées clés

•

Lien entre diagonalisabilité de $P(u)$ et de $u$ .

•

Utilisation des polynômes annulateurs à racines simples.

•

Construction d'un contre-exemple via une matrice de taille 2.

Résolution.

L'endomorphisme $u$ n'est pas nécessairement diagonalisable.

Nous allons montrer cela en analysant les propriétés de $v = u^2 - 4u$ et en construisant un contre-exemple.

Analyse via les polynômes annulateurs. Soit $v = u^2 - 4u$ . Puisque $v$ est diagonalisable, il existe un polynôme $Q \in \mathbb{R}[X]$ scindé à racines simples sur $\mathbb{R}$ tel que $Q(v) = 0$ . Notons $\text{Sp}(v) = \{\lambda_1, \dots, \lambda_k\}$ l'ensemble des valeurs propres de $v$ . On peut choisir : $Q(X) = \prod_{i=1}^k (X - \lambda_i)$ En substituant $v = u^2 - 4u$ , on obtient un polynôme annulateur pour $u$ : $P(u) = \prod_{i=1}^k (u^2 - 4u - \lambda_i \text{Id}_E) = 0$ Posons $P(X) = \prod_{i=1}^k P_i(X)$ avec $P_i(X) = X^2 - 4X - \lambda_i$ . L'endomorphisme $u$ est diagonalisable sur $\mathbb{R}$ si et seulement s'il existe un polynôme annulateur scindé sur $\mathbb{R}$ et à racines simples.
Étude des racines des facteurs $P_i$ . Le discriminant de chaque trinôme $P_i(X) = X^2 - 4X - \lambda_i$ $P_{i} (X) = X^{2} - 4 X - λ_{i}$ est :
$\Delta_i = (-4)^2 - 4(1)(-\lambda_i) = 16 + 4\lambda_i = 4(4 + \lambda_i)$
Trois situations peuvent empêcher la diagonalisabilité de $u$ $u$ :
- Si $\lambda_i < -4$ pour un certain $i$ , alors $\Delta_i < 0$ et le polynôme $P_i$ n'a pas de racines réelles. Si $\lambda_i$ est la seule valeur propre de $v$ , $u$ n'aura pas de spectre réel.
- Si $\lambda_i = -4$ pour un certain $i$ , alors $\Delta_i = 0$ et le polynôme $P_i$ possède une racine double (égale à 2).
Construction d'un contre-exemple. Considérons le cas où $\text{Sp}(v) = \{-4\}$ $Sp (v) = {- 4}$ . Alors $v = -4 \text{Id}_E$ $v = - 4 Id_{E}$ , ce qui est bien un endomorphisme diagonalisable. L'équation devient $u^2 - 4u = -4 \text{Id}_E$ $u^{2} - 4 u = - 4 Id_{E}$ , soit :
$(u - 2\text{Id}_E)^2 = 0$
Prenons $E = \mathbb{R}^2$ $E = R^{2}$ et $u$ $u$ l'endomorphisme dont la matrice dans la base canonique est :
$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 0 & 2 \end{pmatrix}$
Vérifions les conditions :
- $A - 2I_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 0 & 0 \end{pmatrix}$ , donc $(A-2I_2)^2 = 0$ .
- Par conséquent, $A^2 - 4A + 4I_2 = 0$ , soit $A^2 - 4A = -4I_2$ .
- La matrice $V = A^2 - 4A = -4I_2$ est diagonale, donc diagonalisable.
- Pourtant, la matrice $A$ n'est pas diagonalisable car sa seule valeur propre est 2 et son espace propre associé est de dimension 1 : $\ker(A - 2I_2) = \text{Vect}\left( \begin{pmatrix} 1 0 \end{pmatrix} \right)$
$\boxed{ \text{L'endomorphisme } u \text{ n'est pas nécessairement diagonalisable.} }$

Une erreur fréquente est de penser que si $P(u)$ est diagonalisable, alors $u$ l'est. C'est faux dès que $P'$ s'annule sur le spectre de $u$ . Ici, $P(x) = x^2-4x$ , donc $P'(x) = 2x-4$ , qui s'annule en $x=2$ . Cela correspond à la valeur propre $\lambda = P(2) = -4$ pour $v$ .