Diagonalisation de structures symétriques et blocs

Résolution.

1. Étude de S : Le calcul direct donne $S^2 = 4 I_4$. Le polynôme $P(X) = X^2 - 4 = (X-2)(X+2)$ est un polynôme annulateur de $S$. Comme il est scindé à racines simples sur $\mathbb{R}$, $S$ est diagonalisable. Ses valeurs propres sont incluses dans $\{ -2, 2 \}$.

2. Réduction de S : Soient $n_1$ la multiplicité de la valeur propre $2$, et $n_2$ celle de $-2$. On a le système : $\begin{cases} n_1 + n_2 = 4   (\text{dimension de l'espace})$
   2n_1 - 2n_2 = \text{Tr}(S) = 4 \end{cases} En divisant la deuxième par 2 : $n_1 - n_2 = 2$. Par somme et différence : $2n_1 = 6 \implies n_1 = 3$ et $2n_2 = 2 \implies n_2 = 1$. Les valeurs propres sont donc $2$ (triple) et $-2$ (simple).
   $$\boxed{ \Delta_S = \text{diag}(2, 2, 2, -2) }$$

3. Étude de T : $T$ est de la forme $\begin{pmatrix} A & B$
   0 & C \end{pmatrix} avec $A = \begin{pmatrix} 2 & 0$
   3 & 1 \end{pmatrix} et $C = \begin{pmatrix} 3 & 0$
   4 & -1 \end{pmatrix}. Le polynôme caractéristique est $\chi_T(X) = \chi_A(X) \chi_C(X)$. $\chi_A(X) = (X-2)(X-1)$ et $\chi_C(X) = (X-3)(X+1)$. Les valeurs propres sont $\{ 2, 1, 3, -1 \}$. Elles sont distinctes, donc $T$ est diagonalisable. Recherche des vecteurs propres : $\bullet$ Pour $\lambda = 2$ et $\lambda = 1$, on cherche dans le sous-espace $\text{Vect}(e_1, e_2)$ car $A$ est en haut à gauche. On trouve $v_1 = (1, 3, 0, 0)$ et $v_2 = (0, 1, 0, 0)$. $\bullet$ Pour $\lambda = 3$ et $\lambda = -1$, on résout $TX = \lambda X$. Pour $\lambda = 3$, on trouve $v_3 = (7, 12, 1, 1)$. Pour $\lambda = -1$, on trouve $v_4 = (-8, 9, 0, 6)$.
   $$\boxed{ P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 7 & -8$$
   3 & 1 & 12 & 9
   0 & 0 & 1 & 0
   0 & 0 & 1 & 6 \end{pmatrix},   \Delta_T = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0
   0 & 1 & 0 & 0
   0 & 0 & 3 & 0
   0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} }