Réduction et calcul de puissances matricielles

diagonalisation puissance de matrice polynôme caractéristique projecteurs spectraux Opérations élémentaires Décomposition spectrale

Soit $K$ un sous-corps de $\mathbb{C}$ . On considère les deux matrices suivantes de $\mathcal{M}_n(K)$ :

A = \begin{pmatrix} 2 & -2 & 1 2 & -3 & 2 -1 & 2 & 0 \end{pmatrix}   \text{et}   B = \begin{pmatrix} -1 & -4 & -2 & -2 -4 & -1 & -2 & -2 2 & 2 & 1 & 4 2 & 2 & 4 & 1 \end{pmatrix}

Étudier la diagonalisabilité de la matrice $A$ . Si elle est diagonalisable, déterminer une matrice de passage $P$ et une matrice diagonale $D$ telles que $A = PDP^{-1}$ .
En déduire l'expression de la puissance $A^n$ pour tout entier naturel $n$ .
Déterminer si la matrice $B$ est diagonalisable et, le cas échéant, donner son spectre ainsi que la dimension de ses sous-espaces propres.

Pour la matrice $A$ , commencer par calculer le polynôme caractéristique $\chi_A(X) = \det(XI - A)$ . Pour faciliter le calcul, on pourra effectuer des opérations sur les colonnes, par exemple $C_2 \leftarrow C_2 + 2C_3$ .

Une fois les valeurs propres de $A$ obtenues, vérifier que la somme des dimensions des sous-espaces propres est égale à 3.

Pour $A^n$ , on pourra utiliser la formule $A^n = PD^nP^{-1}$ ou exploiter les projecteurs spectraux.

Pour la matrice $B$ , observer des symétries ou des blocs. On peut tester des vecteurs colonnes simples ou remarquer que $B$ préserve certains sous-espaces de dimension 2 (comme celui engendré par les vecteurs dont les composantes sont égales deux à deux).

Idées clés

•

Calcul du polynôme caractéristique et recherche de racines évidentes.

•

Détermination des sous-espaces propres par résolution de systèmes linéaires.

•

Utilisation de la structure de blocs ou de symétries pour les matrices de grande taille.

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Formule du binôme ou décomposition spectrale pour les puissances.

1. Diagonalisation de la matrice A

Calculons le polynôme caractéristique de $A$ :

\chi_A(X) = \det(XI - A) = \begin{vmatrix} X-2 & 2 & -1 -2 & X+3 & -2 1 & -2 & X \end{vmatrix}

En effectuant l'opération $C_2 \leftarrow C_2 + 2C_3$ , on obtient :

\chi_A(X) = \begin{vmatrix} X-2 & 0 & -1 -2 & X-1 & -2 1 & 2X-2 & X \end{vmatrix}

On peut alors factoriser par $(X-1)$ dans la deuxième colonne :

\chi_A(X) = (X-1) \begin{vmatrix} X-2 & 0 & -1 -2 & 1 & -2 1 & 2 & X \end{vmatrix}

En effectuant $L_3 \leftarrow L_3 - 2L_2$ :

\chi_A(X) = (X-1) \begin{vmatrix} X-2 & 0 & -1 -2 & 1 & -2 5 & 0 & X+4 \end{vmatrix} = (X-1) [ (X-2)(X+4) + 5 ]

\chi_A(X) = (X-1)(X^2 + 2X - 3) = (X-1)(X-1)(X+3) = (X-1)^2(X+3)

Les valeurs propres sont $\lambda_1 = 1$ (double) et $\lambda_2 = -3$ (simple).

Sous-espace propre $E_1(A)$ : On résout $(I - A)X = 0$ :

\begin{pmatrix} -1 & 2 & -1 -2 & 4 & -2 1 & -2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x y z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 0 0 \end{pmatrix} \iff x - 2y + z = 0

C'est un plan vectoriel de dimension 2. Une base est

v_1 = (2, 1, 0)

v_2 = (1, 0, 1)

Sous-espace propre $E_{-3$ (A) $E_{- 3} (A)$ :} On résout $(-3I - A)X = 0$ :

\begin{pmatrix} -5 & 2 & -1 -2 & 0 & -2 1 & -2 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x y z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 0 0 \end{pmatrix} \iff \begin{cases} x = -z y = -2z \end{cases}

On trouve

v_3 = (-1, -2, 1)

Puisque $\dim E_1 + \dim E_{-3} = 2 + 1 = 3$ , la matrice $A$ est diagonalisable.

\boxed{ D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & -3 \end{pmatrix},   P = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 1 & 0 & -2 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} }

2. Calcul de $A^n$

On utilise la décomposition spectrale $A^n = 1^n P_1 + (-3)^n P_2$ , où $P_1$ et $P_2$ sont les projecteurs sur les sous-espaces propres. Puisque $P_1 + P_2 = I$ et $A = P_1 - 3P_2$ , on a :

A - I = (P_1 - 3P_2) - (P_1 + P_2) = -4P_2 \implies P_2 = -\frac{1}{4}(A - I)

P_2 = -\frac{1}{4} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 2 & -4 & 2 -1 & 2 & -1 \end{pmatrix} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} -1 & 2 & -1 -2 & 4 & -2 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}

P_1 = I - P_2 = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 5 & -2 & 1 2 & 0 & 2 -1 & 2 & 3 \end{pmatrix}

On en déduit $A^n = P_1 + (-3)^n P_2$ :

\boxed{ A^n = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 5 - (-3)^n & -2 + 2(-3)^n & 1 - (-3)^n 2 - 2(-3)^n & 4(-3)^n & 2 - 2(-3)^n -1 + (-3)^n & 2 - 2(-3)^n & 3 + (-3)^n \end{pmatrix} }

3. Étude de la matrice B

Observons la structure de $B$ par blocs $2 \times 2$ . On remarque que $B$ commute avec les blocs de permutation. On teste des vecteurs simples. Soit $u_1 = (1, -1, 0, 0)^T$ . On calcule $Bu_1 = (3, -3, 0, 0)^T = 3u_1$ . Donc $3 \in \text{Sp}(B)$ . Soit $u_2 = (0, 0, 1, -1)^T$ . On calcule $Bu_2 = (0, 0, -3, 3)^T = -3u_2$ . Donc $-3 \in \text{Sp}(B)$ .

Considérons maintenant les vecteurs de la forme $(a, a, b, b)^T$ . L'action de $B$ sur ces vecteurs se réduit à :

B \begin{pmatrix} a a b b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5a - 4b -5a - 4b 4a + 5b 4a + 5b \end{pmatrix}

On étudie la matrice réduite

M = \begin{pmatrix} -5 & -4 4 & 5 \end{pmatrix}

. Son polynôme caractéristique est

\chi_M(X) = X^2 - \text{tr}(M)X + \det(M) = X^2 - 0X - 9 = X^2 - 9

. Les valeurs propres de

M

sont

3

-3

. Pour

\lambda = 3

, on cherche

M \binom{a}{b} = 3 \binom{a}{b} \implies -8a - 4b = 0 \implies b = -2a

. Le vecteur associé est

u_3 = (1, 1, -2, -2)^T

. Pour

\lambda = -3

, on cherche

M \binom{a}{b} = -3 \binom{a}{b} \implies -2a - 4b = 0 \implies a = -2b

. Le vecteur associé est

u_4 = (-2, -2, 1, 1)^T

Le spectre de $B$ est donc :

\boxed{ \text{Sp}(B) = \{3, -3\} }

Les dimensions des sous-espaces propres sont :

\boxed{ \dim E_3(B) = 2   \text{et}   \dim E_{-3}(B) = 2 }

Puisque la somme des dimensions est

2+2=4

, la matrice

B

est diagonalisable.

Pour le calcul de $A^n$ , une erreur classique est d'oublier que $1^n = 1$ même pour $n=0$ . Il est toujours prudent de vérifier la formule finale pour $n=0$ (on doit trouver $I$ ) et $n=1$ (on doit trouver $A$ ).