Réduction des endomorphismes antisymétriques

Soit $(E, \langle \cdot, \cdot \rangle)$ un espace vectoriel euclidien de dimension finie $n \geq 1$ . Un endomorphisme $u \in \mathcal{L}(E)$ est dit antisymétrique s'il vérifie :

\forall (x, y) \in E^2,   \langle u(x), y \rangle = -\langle x, u(y) \rangle

On rappelle que si $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ stable par $u$ , alors son orthogonal $F^\perp$ est également stable par $u$ .

Soit $\lambda$ une valeur propre réelle de $u$ . Démontrer que nécessairement $\lambda = 0$ .
Soit $M \in \mathcal{A}_n(\mathbb{R})$ une matrice antisymétrique réelle. Montrer que ses valeurs propres dans $\mathbb{C}$ sont portées par l'axe des imaginaires purs $i\mathbb{R}$ .
Établir l'existence d'une base orthonormée $\mathcal{B}$ de $E$ telle que la matrice de $u$ dans cette base soit de la forme : $\text{Mat}_{\mathcal{B}}(u) = \begin{pmatrix} O_p & 0 & \cdots & 0 0 & A_1 & \ddots & \vdots \vdots & \ddots & \ddots & 0 0 & \cdots & 0 & A_q \end{pmatrix}$ où $O_p$ est la matrice nulle de taille $p \times p$ et chaque $A_k$ est un bloc de la forme $\begin{pmatrix} 0 & -a_k a_k & 0 \end{pmatrix}$ avec $a_k \in \mathbb{R}^*$ .

1.

Pour la question 1, calculer $\langle u(x), x \rangle$ de deux manières différentes pour un vecteur propre $x$ .

2.

Pour la question 2, utiliser le produit scalaire hermitien canonique sur $\mathbb{C}^n$ défini par $\langle X, Y \rangle_{\mathbb{C}} = \overline{X}^T Y$ .

3.

Pour la question 3, procéder par récurrence sur la dimension de $E$ . On pourra étudier l'endomorphisme symétrique $u^2$ pour trouver un plan stable ou un vecteur propre.

Idées clés

•

Propriété fondamentale : $\langle u(x), x \rangle = 0$ pour tout $x \in E$ .

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Lien entre antisymétrie et valeurs propres imaginaires pures via le caractère hermitien de la matrice dans $\mathbb{C}$ .

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Structure par blocs obtenue par décomposition de l'espace en sous-espaces stables orthogonaux (plans ou droites).

Résolution.

Soit $\lambda \in \mathbb{R}$ une valeur propre de $u$ . Il existe $x \in E \setminus \{0\}$ tel que $u(x) = \lambda x$ . Par définition de l'antisymétrie, nous avons $\langle u(x), x \rangle = -\langle x, u(x) \rangle$ . En utilisant le caractère bilinéaire du produit scalaire : $\langle \lambda x, x \rangle = -\langle x, \lambda x \rangle \iff \lambda \|x\|^2 = -\lambda \|x\|^2$ D'où $2\lambda \|x\|^2 = 0$ . Comme $x \neq 0$ , on a $\|x\|^2 \neq 0$ , ce qui impose : $\boxed{\lambda = 0}$ Ainsi, la seule valeur propre réelle possible d'un endomorphisme antisymétrique est 0.
Considérons $M \in \mathcal{A}_n(\mathbb{R}) \subset \mathcal{A}_n(\mathbb{C})$ . Soit $\mu \in \mathbb{C}$ une valeur propre complexe de $M$ et $X \in \mathbb{C}^n \setminus \{0\}$ un vecteur propre associé. On utilise le produit scalaire hermitien canonique sur $\mathbb{C}^n$ . On a $MX = \mu X$ et $M^T = -M$ . Calculons la quantité $\overline{X}^T M X$ de deux façons : $\overline{X}^T (MX) = \overline{X}^T (\mu X) = \mu \overline{X}^T X = \mu \|X\|^2$ D'autre part, en utilisant la transposée (et le fait que $\overline{M} = M$ car $M$ est réelle) : $\overline{X}^T M X = (M^T \overline{X})^T X = (-M \overline{X})^T X = - (\overline{MX})^T X = - \overline{\mu} \overline{X}^T X = -\overline{\mu} \|X\|^2$ On en déduit $(\mu + \overline{\mu}) \|X\|^2 = 0$ . Comme $\|X\| \neq 0$ , on obtient $\mu + \overline{\mu} = 0$ , soit $2 \text{Re}(\mu) = 0$ . $\boxed{\mu \in i\mathbb{R}}$
Procédons par récurrence sur $n = \dim E$ $n = dim E$ . Initialisation : Pour $n=0$ $n = 0$ ou $n=1$ $n = 1$ , le résultat est immédiat. Si $n=1$ $n = 1$ , $u$ $u$ est l'application nulle d'après la question 1, donc la matrice est $(0)$ $(0)$ , ce qui correspond à $O_1$ $O_{1}$ . Hérédité : Supposons la propriété vraie pour tout espace de dimension strictement inférieure à $n$ $n$ . Cas 1 : $\ker u \neq \{0\}$ .} Soit $e_1$ un vecteur unitaire de $\ker u$ . La droite $F = \text{Vect}(e_1)$ est stable par $u$ . Par rappel de l'énoncé, $F^\perp$ est stable par $u$ . L'endomorphisme induit $u_{|F^\perp}$ est encore antisymétrique. Par hypothèse de récurrence sur $F^\perp$ (de dimension $n-1$ ), il existe une BON de $F^\perp$ redimensionnant $u$ . En y ajoutant $e_1$ , on obtient la forme voulue. Cas 2 : $\ker u = \{0\}$ .} Considérons l'endomorphisme $v = u^2$ . Pour tous $x, y \in E$ : $\langle u^2(x), y \rangle = -\langle u(x), u(y) \rangle = \langle x, u^2(y) \rangle$ Ainsi $u^2$ est un endomorphisme symétrique. D'après le théorème spectral, il possède au moins une valeur propre réelle $\mu$ . Soit $e_1$ un vecteur propre unitaire de $u^2$ associé à $\mu$ . On a $\mu = \langle u^2(e_1), e_1 \rangle = -\|u(e_1)\|^2$ . Comme $u$ est injective, $u(e_1) \neq 0$ , donc $\mu < 0$ . Posons $\mu = -a^2$ avec $a > 0$ . Posons $e_2 = \frac{1}{a} u(e_1)$ . Alors :

$\|e_2\|^2 = \frac{1}{a^2} \langle u(e_1), u(e_1) \rangle = -\frac{1}{a^2} \langle u^2(e_1), e_1 \rangle = -\frac{1}{a^2} (-a^2 \|e_1\|^2) = 1$ .
$\langle e_1, e_2 \rangle = \frac{1}{a} \langle e_1, u(e_1) \rangle = 0$ (propriété des antisymétriques).
Le plan $P = \text{Vect}(e_1, e_2)$ est stable par $u$ car $u(e_1) = a e_2$ et $u(e_2) = \frac{1}{a} u^2(e_1) = -a e_1$ . La matrice de $u_{|P}$ dans la BON $(e_1, e_2)$ est $\begin{pmatrix} 0 & -a a & 0 \end{pmatrix}$ . En appliquant l'hypothèse de récurrence à $P^\perp$ (stable et de dimension $n-2$ ), on conclut.

Ne pas oublier que la réduction des endomorphismes antisymétriques ne conduit pas à une matrice diagonale sur $\mathbb{R}$ (sauf si $u=0$ ). Il s'agit d'une réduction par blocs.