Diagonalisation d'une matrice par blocs

Soient $a, b \in \mathbb{C}$ et $n \in \mathbb{N}^*$ . On considère la matrice par blocs $M \in \mathrm{M}_{2n}(\mathbb{C})$ définie par :

M = \begin{pmatrix} 0 & a I_n b I_n & 0 \end{pmatrix}

Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur les complexes

a

et

b

pour que la matrice

M

soit diagonalizable dans

\mathrm{M}_{2n}(\mathbb{C})

.

1.

Calculer le carré de la matrice $M$ .

2.

Utiliser le lien entre l'existence d'un polynôme annulateur scindé à racines simples et la diagonalisabilité.

3.

Étudier séparément le cas où le produit $ab$ est nul.

Idées clés

•

Utilisation d'un polynôme annulateur.

•

Caractérisation des matrices nilpotentes diagonalisables.

•

Cas des racines simples d'un polynôme.

Résolution.

Commençons par calculer le carré de la matrice $M$ en utilisant le produit par blocs.

On obtient :

M^2 = \begin{pmatrix} 0 & a I_n b I_n & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & a I_n b I_n & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ab I_n & 0 0 & ab I_n \end{pmatrix} = ab I_{2n}

Ainsi, la matrice $M$ annule le polynôme $P(X) = X^2 - ab$ .

Nous devons maintenant distinguer deux cas selon la valeur du produit $ab$ .

Premier cas : $ab \neq 0$ .

Le complexe $ab$ admet deux racines carrées distinctes dans $\mathbb{C}$ , que nous noterons $\gamma$ et $-\gamma$ , avec $\gamma \neq 0$ .

Le polynôme $P(X) = X^2 - \gamma^2 = (X - \gamma)(X + \gamma)$ est donc un polynôme annulateur de $M$ .

Ce polynôme est scindé sur $\mathbb{C}$ et possède deux racines simples car $\gamma \neq -\gamma$ .

D'après le cours, l'existence d'un tel polynôme annulateur assure que $M$ est diagonalizable.

Deuxième cas : $ab = 0$ .

Dans ce cas, l'égalité $M^2 = ab I_{2n}$ devient $M^2 = 0$ .

La matrice $M$ est donc nilpotente.

Or, une matrice nilpotente est diagonalizable si et seulement si elle est nulle.

Examinons la condition $M=0$ :

M = 0 \iff a I_n = 0 \text{ et } b I_n = 0 \iff a = 0 \text{ et } b = 0

Synthèse.

La matrice $M$ est diagonalizable si et seulement si :

\boxed{(ab \neq 0)   \text{ou}   (a = 0 \text{ et } b = 0)}

Cette condition peut se reformuler de manière plus concise : $a=b=0$ ou $a,b$ sont tous deux non nuls, ou encore $a$ et $b$ jouent un rôle symétrique dans la nullité du produit.

Ne pas oublier que si $ab=0$ , la matrice $M$ n'est pas forcément nulle. Par exemple, si $a=1$ et $b=0$ , $M^2=0$ mais $M \neq 0$ .