Matrices universellement trigonalisables par produit

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ . On considère l'espace vectoriel $\mathbb{R}^n$ muni de sa structure usuelle.

Déterminer l'ensemble des matrices $A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ telles que, pour toute matrice inversible $P \in \mathrm{GL}_{n}(\mathbb{R})$ , la matrice $P A$ soit trigonalisable dans $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ .

1.

Rappeler qu'une matrice réelle est trigonalisable sur $\mathbb{R}$ si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé sur $\mathbb{R}$ .

2.

Étudier le cas où le rang de $A$ est inférieur ou égal à $1$ en calculant explicitement le polynôme caractéristique.

3.

Pour le cas où $\text{rg}(A) \ge 2$ , construire une matrice $P$ telle que $PA$ possède un bloc stable agissant comme une rotation d'un quart de tour, empêchant ainsi l'existence de valeurs propres réelles pour ce bloc.

Idées clés

•

Lien entre trigonalisabilité sur $\mathbb{R}$ et racines réelles du polynôme caractéristique.

•

Étude du polynôme caractéristique des matrices de rang $1$ .

•

Construction d'un contre-exemple par stabilité d'un plan pour le cas de rang élevé.

Résolution.

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ . On rappelle qu'une matrice est trigonalisable sur $\mathbb{R}$ si et seulement si son polynôme caractéristique $\chi_{PA}$ est scindé sur $\mathbb{R}$ .

Cas 1 : La matrice $A$ est de rang $0$ ou $1$ .

Si $\text{rg}(A) = 0$ , alors $A = 0$ . Pour tout $P \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ , $PA = 0$ , qui est trivialement trigonalisable.

Supposons maintenant que $\text{rg}(A) = 1$ . Soit $P \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ . On a $\text{rg}(PA) \le \text{rg}(A) = 1$ .

Si $\text{rg}(PA) = 0$ , on retombe sur le cas précédent. Si $\text{rg}(PA) = 1$ , alors $0$ est valeur propre de $PA$ et la dimension du sous-espace propre associé est :

\dim(\ker(PA)) = n - \text{rg}(PA) = n - 1

Ainsi, $X^{n-1}$ divise le polynôme caractéristique $\chi_{PA}$ . Comme $\deg(\chi_{PA}) = n$ , il existe $\lambda \in \mathbb{R}$ tel que :

\chi_{PA}(X) = X^{n-1}(X - \lambda)

On sait par ailleurs que la somme des racines (comptées avec multiplicité) est égale à la trace, donc $\lambda = \text{Tr}(PA)$ . Le polynôme caractéristique est donc :

\boxed{\chi_{PA}(X) = X^{n-1}(X - \text{Tr}(PA))}

Ce polynôme est scindé sur $\mathbb{R}$ car toutes ses racines ( $0$ et $\text{Tr}(PA)$ ) sont réelles. Ainsi, $PA$ est trigonalisable pour tout $P \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ .

Cas 2 : La matrice $A$ est de rang $r \ge 2$ .

Nous allons montrer qu'il existe $P \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ tel que $PA$ n'est pas trigonalisable sur $\mathbb{R}$ .

Comme $\text{rg}(A) \ge 2$ , il existe deux vecteurs $u_1, u_2 \in \mathbb{R}^n$ tels que la famille $(Au_1, Au_2)$ soit linéairement indépendante dans $\mathbb{R}^n$ . Notons que cela implique que $(u_1, u_2)$ est également une famille libre.

On peut alors compléter $(Au_1, Au_2)$ en une base $\mathcal{B}' = (Au_1, Au_2, v_3, \dots, v_n)$ de $\mathbb{R}^n$ . De même, on complète $(u_1, u_2)$ en une base $\mathcal{B} = (u_1, u_2, w_3, \dots, w_n)$ de $\mathbb{R}^n$ .

On définit l'application linéaire $P$ par les images des vecteurs de la base $\mathcal{B}'$ :

$P(Au_1) = u_2$
$P(Au_2) = -u_1$
$P(v_k) = w_k$ pour tout $k \in \{3, \dots, n\}$

L'application $P$ transforme une base en une base, donc $P$ est un automorphisme de $\mathbb{R}^n$ , soit $P \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ . Calculons l'action de $PA$ sur le plan $V = \text{Vect}(u_1, u_2)$ :

(PA)(u_1) = P(Au_1) = u_2   \text{et}   (PA)(u_2) = P(Au_2) = -u_1

Le plan $V$ est donc stable par $PA$ . La matrice de la restriction de $PA$ à $V$ dans la base $(u_1, u_2)$ est :

\boxed{M = \begin{pmatrix} 0 & -1 1 & 0 \end{pmatrix}}

Le polynôme caractéristique de cette restriction est $X^2 + 1$ . D'après les propriétés des matrices par blocs (en complétant la base du plan en une base de l'espace), le polynôme caractéristique de la restriction divise celui de l'endomorphisme total :

(X^2 + 1) \text{ divise } \chi_{PA}(X)

Or, $X^2 + 1$ n'a pas de racines réelles. Donc $\chi_{PA}$ n'est pas scindé sur $\mathbb{R}$ . Par conséquent, $PA$ n'est pas trigonalisable sur $\mathbb{R}$ .

Conclusion.

L'ensemble recherché est constitué des matrices de rang inférieur ou égal à $1$ .

\boxed{\mathcal{S} = \{ A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \mid \text{rg}(A) \le 1 \}}

Une erreur classique est d'oublier de vérifier si la matrice $P$ construite est bien inversible. Il est crucial de définir $P$ sur une base complète de l'espace pour garantir son inversibilité.