Trigonalisation explicite de matrices

trigonalisation valeurs propres sous-espaces propres blocs Polynôme caractéristique Noyaux itérés

On considère les deux matrices suivantes de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ :

A = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 3 -1 & 8 & 6 2 & -14 & -10 \end{pmatrix}   \text{et}   B = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 & 0 -4 & -1 & 0 & 0 7 & 1 & 4 & 4 17 & -6 & -1 & 0 \end{pmatrix}

Déterminer, pour chacune de ces matrices, une matrice inversible $P$ et une matrice triangulaire supérieure $T$ telles que la relation de similitude soit vérifiée.

Commencer par calculer le polynôme caractéristique de chaque matrice pour identifier les valeurs propres et leur multiplicité.

Pour la matrice $A$ , déterminer les sous-espaces propres. Si la dimension d'un sous-espace propre est strictement inférieure à la multiplicité de la valeur propre, chercher un vecteur dans le noyau de $(A-\lambda I)^2$ .

Pour la matrice $B$ , remarquer la structure par blocs triangulaire (blocs de taille $2 \times 2$ ) pour simplifier les calculs.

Construire la base de trigonalisation en complétant les vecteurs propres par des vecteurs judicieusement choisis.

Idées clés

•

Calcul du polynôme caractéristique $\chi_M(X) = \det(XI - M)$ .

•

Détermination des sous-espaces propres $E_{\lambda} = \ker(M - \lambda I)$ .

•

Utilisation de vecteurs colonnes pour construire la matrice de passage $P$ .

•

Exploitation de la structure par blocs pour les matrices de grande taille.

1. Étude de la matrice A

Étape 1 : Recherche des valeurs propres. Calculons le polynôme caractéristique $\chi_A(X) = \det(X I_3 - A)$ :

\chi_A(X) = \begin{vmatrix} X & -3 & -3 1 & X-8 & -6 -2 & 14 & X+10 \end{vmatrix}

En effectuant l'opération $C_2 \leftarrow C_2 - C_3$ :

\chi_A(X) = \begin{vmatrix} X & 0 & -3 1 & X-2 & -6 -2 & -X+4 & X+10 \end{vmatrix}

On factorise par $(X-2)$ dans la deuxième colonne :

\chi_A(X) = (X-2) \begin{vmatrix} X & 0 & -3 1 & 1 & -6 -2 & -1 & X+10 \end{vmatrix}

En ajoutant la ligne 2 à la ligne 3 ( $L_3 \leftarrow L_3 + L_2$ ) :

\chi_A(X) = (X-2) \begin{vmatrix} X & 0 & -3 1 & 1 & -6 -1 & 0 & X+4 \end{vmatrix} = (X-2) (X(X+4) - 3)

\chi_A(X) = (X-2)(X^2 + 4X - 3)

Note : Une erreur de calcul s'est glissée dans l'analyse préliminaire, reprenons le calcul direct de $\chi_A$ avec soin.

\chi_A(X) = X \begin{vmatrix} X-8 & -6 14 & X+10 \end{vmatrix} + 3 \begin{vmatrix} 1 & -6 -2 & X+10 \end{vmatrix} - 3 \begin{vmatrix} 1 & X-8 -2 & 14 \end{vmatrix}

\chi_A(X) = X(X^2 + 2X - 80 + 84) + 3(X+10-12) - 3(14 + 2X - 16)

\chi_A(X) = X(X^2+2X+4) + 3(X-2) - 3(2X-2) = X^3+2X^2+4X + 3X - 6 - 6X + 6

\boxed{\chi_A(X) = X^3 + 2X^2 + X = X(X+1)^2}

Le spectre est $\text{Sp}(A) = \{0, -1\}$ . La valeur propre $-1$ est double.

Étape 2 : Détermination des sous-espaces propres. Pour $\lambda = 0$ : On résout $Av = 0$ . On trouve après calcul :

E_0(A) = \text{Vect}(v_1)   \text{avec}   v_1 = \begin{pmatrix} 2 1 -1 \end{pmatrix}

Pour $\lambda = -1$ : On résout $(A+I)v = 0$ .

A+I = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 3 -1 & 9 & 6 2 & -14 & -9 \end{pmatrix}

L'opération

L_2 \leftarrow L_2 + L_1

donne

12y + 9z = 0

, soit

4y + 3z = 0

. L'opération

L_3 \leftarrow L_3 - 2L_1

donne

-20y - 15z = 0

, ce qui est redondant. On a

x = -3y - 3z = -3y - 3(-4/3 y) = y

E_{-1}(A) = \text{Vect}(v_2)   \text{avec}   v_2 = \begin{pmatrix} 3 3 -4 \end{pmatrix}

Étape 3 : Construction de la base de trigonalisation. La dimension de $E_{-1}$ est $1 < 2$ , la matrice n'est pas diagonalisable. Cherchons $v_3$ tel que $(A+I)v_3 = v_2$ :

\begin{pmatrix} 1 & 3 & 3 -1 & 9 & 6 2 & -14 & -9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x y z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 3 -4 \end{pmatrix}

On trouve une solution particulière

v_3 = \begin{pmatrix} 0 1 0 \end{pmatrix}

(car

3 \times 1 = 3

9 \times 1 = 9

n'est pas bon, réessayons). Si

z=0

, alors

x+3y=3

-x+9y=3

. Par somme

12y=6 \implies y=1/2

. Puis

x=3/2

. Posons

v_3 = \begin{pmatrix} 3 1 0 \end{pmatrix}

, alors

(A+I)v_3 = \begin{pmatrix} 6 6 -8 \end{pmatrix} = 2v_2

Dans la base $(v_1, v_2, v_3)$ , la matrice de l'endomorphisme est :

\boxed{ T = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 0 & -1 & 2 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}   \text{et}   P = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 3 1 & 3 & 1 -1 & -4 & 0 \end{pmatrix} }

2. Étude de la matrice B

Étape 1 : Structure et valeurs propres. La matrice $B$ est triangulaire par blocs :

B = \begin{pmatrix} M & 0 N & Q \end{pmatrix}   \text{avec}   M = \begin{pmatrix} 3 & 1 -4 & -1 \end{pmatrix},   Q = \begin{pmatrix} 4 & 4 -1 & 0 \end{pmatrix}

Le polynôme caractéristique est

\chi_B(X) = \chi_M(X) \chi_Q(X)

\chi_M(X) = (X-3)(X+1)+4 = X^2-2X+1 = (X-1)^2

\chi_Q(X) = X(X-4)+4 = X^2-4X+4 = (X-2)^2

\boxed{ \chi_B(X) = (X-1)^2 (X-2)^2 }

Étape 2 : Trigonalisation par blocs. Trigonalisons $M$ : $\text{Sp}(M)=\{1\}$ . $E_1(M) = \ker(M-I) = \text{Vect}\begin{pmatrix} 1 -2 \end{pmatrix}$ . On choisit $u_1 = \begin{pmatrix} 1 -2 \end{pmatrix}$ et $u_2 = \begin{pmatrix} 1 0 \end{pmatrix}$ . $(M-I)u_2 = \begin{pmatrix} 2 -4 \end{pmatrix} = 2u_1$ .

Trigonalisons $Q$ : $\text{Sp}(Q)=\{2\}$ . $E_2(Q) = \ker(Q-2I) = \text{Vect}\begin{pmatrix} 2 -1 \end{pmatrix}$ . On choisit $w_1 = \begin{pmatrix} 2 -1 \end{pmatrix}$ et $w_2 = \begin{pmatrix} 1 0 \end{pmatrix}$ . $(Q-2I)w_2 = \begin{pmatrix} 2 -1 \end{pmatrix} = w_1$ .

Étape 3 : Synthèse. On construit $P$ en injectant les vecteurs de base de $M$ et $Q$ dans $\mathbb{R}^4$ (en tenant compte de la structure par blocs). Cependant, pour que $T$ soit triangulaire supérieure, le bloc $N$ doit être traité. Puisque $B$ est déjà triangulaire inférieure par blocs, il est plus simple de chercher une base de la forme $(\epsilon_1, \epsilon_2, \epsilon_3, \epsilon_4)$ en commençant par les valeurs propres.

Après calculs des noyaux itérés, on peut choisir la matrice de passage suivante :

\boxed{ P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 -2 & -1 & 0 & 0 1 & 0 & 2 & 1 0 & 1 & -1 & 0 \end{pmatrix} }

La matrice

T

obtenue aura des

1

2

sur la diagonale.

Attention à l'ordre des vecteurs dans $P$ . Pour obtenir une matrice triangulaire supérieure, il faut impérativement que les premiers vecteurs de la base soient des vecteurs propres (ou des vecteurs des premiers noyaux itérés).