Éléments propres complexes et réduction

Résolution.

1. Étude de $M$ : Calculons $\chi_M(X) = \det(XI - M)$ :
   $$\chi_M(X) = \begin{vmatrix} X-2 & 1 & 1$$
   -2 & X-1 & 2
   -3 & 1 & X+2 \end{vmatrix}
   Par $C_1 \leftarrow C_1 - C_2 + C_3$, on obtient :
   $$\chi_M(X) = \begin{vmatrix} X-2 & 1 & 1$$
   0 & X-1 & 2
   X-2 & 1 & X+2 \end{vmatrix} = (X-2) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1
   0 & X-1 & 2
   1 & 1 & X+2 \end{vmatrix}
   Par $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$ :
   $$\chi_M(X) = (X-2) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1$$
   0 & X-1 & 2
   0 & 0 & X+1 \end{vmatrix} = (X-2)(X-1)(X+1)
   $\chi_M$ possède trois racines distinctes dans $\mathbb{C}$ (et même dans $\mathbb{R}$). La matrice $M$ est donc diagonalisable sur $\mathbb{C$ (et sur $\mathbb{R}$).} Les sous-espaces propres sont des droites vectorielles dont on trouve les générateurs par résolution classique : $E_2 = \text{Vect}((1, 1, -1))$, $E_1 = \text{Vect}((1, 2, -1))$, $E_{-1} = \text{Vect}((1, 1, 2))$.

2. Étude de $N$ : $\chi_N(X) = (X-1) \begin{vmatrix} X & 1$
   -1 & X-2 \end{vmatrix} = (X-1)(X(X-2)+1) = (X-1)(X^2-2X+1) = (X-1)^3. La seule valeur propre est 1, de multiplicité 3. $N$ est diagonalisable si et seulement si $N = 1 \cdot I = I$. Or $N \neq I$. La matrice $N$ n'est pas diagonalisable.

3. Trigonalisation de $N$ : $\chi_N$ est scindé sur $\mathbb{R}$, donc $N$ est trigonalisable. Cherchons $E_1(N)$ : $(N-I)X=0 \iff \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0$
   0 & -1 & -1
   0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x
   y
   z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0
   0
   0 \end{pmatrix} \iff y+z=0. C'est un plan de dimension 2 : $E_1(N) = \text{Vect}(e_1, v_2)$ avec $e_1 = (1, 0, 0)$ et $v_2 = (0, 1, -1)$. Pour compléter la base et obtenir une forme triangulaire, choisissons $v_3 = (0, 0, 1)$. On a $N e_1 = e_1$ et $N v_2 = v_2$. Calculons $N v_3$ : $N \begin{pmatrix} 0$
   0
   1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0
   -1
   2 \end{pmatrix}. On cherche $\alpha, \beta, \gamma$ tels que $N v_3 = \alpha e_1 + \beta v_2 + \gamma v_3$. $(0, -1, 2) = \alpha(1, 0, 0) + \beta(0, 1, -1) + \gamma(0, 0, 1) \implies \alpha=0, \beta=-1, \gamma=1$. Ainsi, dans la base $(e_1, v_2, v_3)$, la matrice est :
   $$\boxed{T = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0$$
   0 & 1 & -1
   0 & 0 & 1 \end{pmatrix},   Q = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0
   0 & 1 & 0
   0 & -1 & 1 \end{pmatrix}}