Trigonalisation explicite en dimension 4

L'objectif de cet exercice est de pratiquer la réduction de matrices sous forme triangulaire supérieure. Pour chacune des matrices suivantes, déterminer son spectre, justifier qu'elle est trigonalisable sur $\mathbb{R}$ , puis déterminer une matrice de passage $P$ et une matrice triangulaire $T$ telles que $A = PTP^{-1}$ .

$A = \begin{pmatrix} 1 & -3 & 0 & 3 -2 & -6 & 0 & 13 0 & -3 & 1 & 3 -1 & -4 & 0 & 8 \end{pmatrix}$
$B = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 1 & -7 9 & -3 & -7 & -1 0 & 0 & 4 & -8 0 & 0 & 2 & -4 \end{pmatrix}$

1.

Commencer par calculer le polynôme caractéristique pour identifier les valeurs propres.

2.

Une matrice est trigonalisable sur $\mathbb{K}$ si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé sur $\mathbb{K}$ .

3.

Pour construire la base de trigonalisation, commencer par déterminer les vecteurs propres, puis compléter la famille en cherchant des vecteurs dont l'image par l'endomorphisme est une combinaison linéaire des vecteurs déjà choisis.

4.

Pour la matrice $B$ , exploiter la structure en blocs pour simplifier le calcul du polynôme caractéristique.

Idées clés

•

Condition de trigonalisation : polynôme caractéristique scindé.

•

Algorithme de construction d'une base de trigonalisation par "remontée" des noyaux itérés ou complététion de base.

1. Étude de la matrice $A$

Calcul du polynôme caractéristique : En calculant le déterminant $\chi_A(X) = \det(XI - A)$ , on obtient après développements ou opérations élémentaires :

\chi_A(X) = (X-1)^4

Le polynôme caractéristique est scindé sur $\mathbb{R}$ . Par conséquent :

\boxed{A \text{ est trigonalisable sur } \mathbb{R}}

Recherche des sous-espaces propres : On résout $(A - I)X = 0$ . La matrice $A-I$ est :

A-I = \begin{pmatrix} 0 & -3 & 0 & 3 -2 & -7 & 0 & 13 0 & -3 & 0 & 3 -1 & -4 & 0 & 7 \end{pmatrix}

On observe que les lignes 1 et 3 sont identiques. Le système se réduit à :

\begin{cases} -3y + 3w = 0 -x - 4y + 7w = 0 \end{cases} \iff \begin{cases} y = w x = 3w \end{cases}

Le sous-espace propre

E_1(A)

est de dimension 2 :

E_1(A) = \text{Vect}(u_1, u_2) \text{ avec } u_1 = \begin{pmatrix} 0 0 1 0 \end{pmatrix}, u_2 = \begin{pmatrix} 3 1 0 1 \end{pmatrix}

Construction de la base de trigonalisation : On cherche $u_3$ tel que $(A-I)u_3$ soit dans $\text{Vect}(u_1, u_2)$ . Posons $u_3 = (6, 0, 1, 1)^T$ . On calcule $Au_3 = (9, 1, 4, 2)^T$ . On vérifie que $Au_3 = 3u_2 + u_3$ , ce qui convient pour une structure triangulaire.

Enfin, on choisit $u_4 = (1, 0, 0, 0)^T$ . On calcule $Au_4 = (1, -2, 0, -1)^T$ . On décompose $Au_4$ dans la base $(u_1, u_2, u_3, u_4)$ . On trouve $Au_4 = -u_1 - 2u_2 + u_4$ .

On obtient ainsi les matrices :

\boxed{ P = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 6 & 1 0 & 1 & 0 & 0 1 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}   \text{et}   T = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & -1 0 & 1 & 1 & -2 0 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} }

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2. Étude de la matrice $B$

Structure par blocs : La matrice $B$ est triangulaire supérieure par blocs : $B = \begin{pmatrix} M_1 & M_2 0 & M_3 \end{pmatrix}$ avec :

M_1 = \begin{pmatrix} 3 & -1 9 & -3 \end{pmatrix}   \text{et}   M_3 = \begin{pmatrix} 4 & -8 2 & -4 \end{pmatrix}

Le polynôme caractéristique est le produit des polynômes caractéristiques des blocs diagonaux :

\chi_B(X) = \chi_{M_1}(X) \cdot \chi_{M_3}(X)

On calcule $\chi_{M_1}(X) = X^2 - \text{tr}(M_1)X + \det(M_1) = X^2 - 0X + 0 = X^2$ . De même, $\chi_{M_3}(X) = X^2 - 0X + 0 = X^2$ . D'où :

\chi_B(X) = X^4

La matrice est donc nilpotente et trigonalisable.

Construction de la base : On cherche le noyau $E_0(B) = \ker(B)$ . Les équations sont :

\begin{cases} 4z - 8w = 0 2z - 4w = 0 3x - y + z - 7w = 0 \end{cases} \iff \begin{cases} z = 2w y = 3x - 5w \end{cases}

On en déduit une base de

\ker(B)

:

v_1 = (1, 3, 0, 0)^T

et

v_3 = (0, -5, 2, 1)^T

.

On complète par $v_2 = (0, 1, 0, 0)^T$ . On a $Bv_2 = (-1, -3, 0, 0)^T = -v_1$ . Enfin, on prend $v_4 = (0, 0, 0, 1)^T$ . On a $Bv_4 = (-7, -1, -8, -4)^T$ . On cherche $\alpha, \beta, \gamma$ tels que $Bv_4 = \alpha v_1 + \beta v_2 + \gamma v_3$ . L'identification donne $\gamma = -4$ , $\alpha = -7$ et $\beta = 20$ .

On obtient :

\boxed{ P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 3 & 1 & -5 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}   \text{et}   T = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 & -7 0 & 0 & 0 & 20 0 & 0 & 0 & -4 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} }

Attention à l'ordre des vecteurs dans la matrice de passage $P$ . Une erreur dans l'ordre peut empêcher la matrice $T$ d'être triangulaire supérieure. Rappelons que si $f$ est l'endomorphisme, on veut $f(u_j) \in \text{Vect}(u_1, \dots, u_j)$ .