Trigonalisation de matrices d'ordre 3

1. Étude de la matrice $A$

1. Spectre : Un calcul du déterminant $\chi_A(X) = \det(XI - A)$ donne :
   $$\chi_A(X) = X^3 - 14X^2 + 64X - 96 = (X-6)(X-4)^2$$
   Le spectre est $\text{Sp}(A) = \{4, 6\}$, avec 4 de multiplicité 2.

2. Sous-espaces propres : Pour $\lambda=6$, on trouve après résolution du système $(A-6I)X=0$ :
   $$E_6 = \text{Vect}(u_1)   \text{avec}   u_1 = \begin{pmatrix} 1$$
   1
   4 \end{pmatrix}
   Pour $\lambda=4$, on résout $(A-4I)X=0$ :
   $$E_4 = \text{Vect}(u_2)   \text{avec}   u_2 = \begin{pmatrix} 3$$
   -1
   2 \end{pmatrix}
   Comme $\dim(E_4) = 1 < 2$, la matrice $A$ n'est pas diagonalisable.

3. Trigonalisation : On cherche $u_3$ tel que $(A-4I)u_3 = u_2$. Le système est $\begin{pmatrix} -1 & -1 & 1$
   -3 & 1 & 5
   -4 & 4 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x
   y
   z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3
   -1
   2 \end{pmatrix}. Une solution est $u_3 = \begin{pmatrix} -2$
   -2
   -1 \end{pmatrix}. Dans la base $\mathcal{B} = (u_1, u_2, u_3)$, la matrice est :
   $$\boxed{ T_A = \begin{pmatrix} 6 & 0 & 0$$
   0 & 4 & 1
   0 & 0 & 4 \end{pmatrix} }

2. Étude de la matrice $B$

1. Analyse par blocs : On remarque que $B$ est triangulaire par blocs : $B = \begin{pmatrix} M & 0$
   L & -2 \end{pmatrix} avec $M = \begin{pmatrix} 3 & 1$
   -4 & -1 \end{pmatrix}. $\chi_M(X) = X^2 - 2X + 1 = (X-1)^2$. Le spectre est $\text{Sp}(B) = \{1, -2\}$.

2. Sous-espaces propres : Pour $\lambda = -2$, on trouve $E_{-2} = \text{Vect}(v_1)$ avec $v_1 = \begin{pmatrix} 0$
   0
   1 \end{pmatrix}. Pour $\lambda = 1$, on trouve $E_1 = \text{Vect}(v_2)$ avec $v_2 = \begin{pmatrix} 1$
   -2
   4 \end{pmatrix}. La matrice n'est pas diagonalisable ($\dim(E_1) = 1 < 2$).

3. Trigonalisation : On cherche $v_3$ tel que $(B-I)v_3 = v_2$. Le système $\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0$
   -4 & -2 & 0
   4 & -8 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x
   y
   z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1
   -2
   4 \end{pmatrix} donne $2x+y=1$ et $4x-8y-3z=4$. En prenant $x=0$, on a $y=1$ et $z=-4$. Soit $v_3 = \begin{pmatrix} 0$
   1
   -4 \end{pmatrix}. Dans la base $\mathcal{B} = (v_1, v_2, v_3)$, on obtient :
   $$\boxed{ T_B = \begin{pmatrix} -2 & 0 & 0$$
   0 & 1 & 1
   0 & 0 & 1 \end{pmatrix} }

3. Étude de la matrice $C$

1. Spectre : On calcule $\text{Tr}(C) = -9$. Un calcul plus poussé montre que :
   $$\chi_C(X) = (X+3)^3$$
   La seule valeur propre est $-3$.

2. Réduction : Soit $N = C+3I = \begin{pmatrix} 12 & -6 & -2$
   18 & -9 & -3
   18 & -9 & -3 \end{pmatrix}. On observe que toutes les lignes sont proportionnelles à $(6, -3, -1)$. Ainsi $\text{rg}(N) = 1$. Par le théorème du rang, $\dim(E_{-3}) = 2$. $C$ n'est pas diagonalisable.

3. Base de trigonalisation : L'image de $N$ est $\text{Vect}(w_1)$ avec $w_1 = \begin{pmatrix} 2$
   3
   3 \end{pmatrix}. Comme $w_1 \in \ker(N)$ (car $N^2 = 0$), on complète avec $w_2$ tel que $w_2 \in \ker(N)$ et $w_2$ non colinéaire à $w_1$, par exemple $w_2 = \begin{pmatrix} 1$
   2
   0 \end{pmatrix}. Enfin, on choisit $w_3 = \begin{pmatrix} 1$
   0
   0 \end{pmatrix} pour lequel $Nw_3 = \begin{pmatrix} 12$
   18
   18 \end{pmatrix} = 6w_1. Dans la base $(w_1, w_2, w_3)$, la matrice de l'endomorphisme associé est :
   $$\boxed{ T_C = \begin{pmatrix} -3 & 0 & 6$$
   0 & -3 & 0
   0 & 0 & -3 \end{pmatrix} }