Trigonalisation réelle par blocs

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie $d \geq 1$ sur le corps $\mathbb{R}$ et $u$ un endomorphisme de $E$ .

Démontrer qu'il existe une base $\mathcal{B}$ de $E$ telle que la matrice de $u$ dans $\mathcal{B}$ soit triangulaire supérieure par blocs de la forme : $\operatorname{Mat}_{\mathcal{B}}(u) = \begin{pmatrix} \lambda_{1} & & & & & * 0 & \ddots & & & (*) & \vdots & \ddots & \lambda_{n} & & & \vdots & & 0 & R_1 & & \vdots \vdots & (0) & & \ddots & \ddots & 0 & \dots & \dots & \dots & 0 & R_{p} \end{pmatrix}$ où les coefficients $\lambda_i$ sont des réels et chaque bloc $R_j$ est une matrice de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ de la forme $\begin{pmatrix} a_j & b_j -b_j & a_j \end{pmatrix}$ avec $b_j \neq 0$ .
Traduire ce résultat sous forme matricielle en termes de classes de similitude dans $\mathcal{M}_d(\mathbb{R})$ .

1.

Procéder par récurrence sur la dimension de l'espace $E$ .

2.

Pour l'initialisation et l'hérédité, utiliser le fait que tout polynôme à coefficients réels possède au moins une racine dans $\mathbb{C}$ .

3.

Si $u$ possède une valeur propre réelle, il existe une droite stable.

4.

Si $u$ n'a pas de valeur propre réelle, montrer qu'il possède un plan stable $P$ sur lequel l'endomorphisme induit a la forme $R_j$ souhaitée en considérant une racine complexe $a+ib$ de son polynôme caractéristique.

Idées clés

•

Récurrence sur la dimension $d = \dim E$ .

•

Existence d'un sous-espace stable de dimension 1 (valeur propre réelle) ou 2 (valeur propre complexe non réelle).

•

Utilisation de la structure des blocs $2 \times 2$ associée aux racines complexes conjuguées.

Résolution.

Procédons par récurrence sur $d = \dim E$ .
Initialisation : Pour $d=1$ , la matrice est simplement $(\lambda_1)$ , ce qui correspond à la forme voulue avec $n=1$ et $p=0$ . Pour $d=2$ , soit $u$ a une valeur propre réelle (on trigonalise classiquement), soit il n'en a pas. Dans ce second cas, le polynôme caractéristique $\chi_u$ est de degré 2 sans racine réelle, donc ses racines sont de la forme $a \pm ib$ avec $b \neq 0$ . On verra dans l'étape suivante comment obtenir la forme $R_j$ .
Hérédité : Supposons la propriété vraie pour tout espace de dimension strictement inférieure à $d$ . Considérons le polynôme caractéristique $\chi_u \in \mathbb{R}[X]$ . D'après le théorème fondamental de l'algèbre, il admet au moins une racine dans $\mathbb{C}$ .
Premier cas : $u$ admet une racine réelle $\lambda \in \mathbb{R$ $λ \in R$ .} Il existe alors un vecteur propre $e_1 \neq 0$ tel que $u(e_1) = \lambda e_1$ . Soit $F = \text{Vect}(e_1)$ , qui est une droite stable par $u$ . On complète $e_1$ en une base $(e_1, \dots, e_d)$ de $E$ . La matrice de $u$ dans cette base est :
$M = \begin{pmatrix} \lambda & L 0 & A \end{pmatrix}$ où $L \in \mathcal{M}_{1, d-1}(\mathbb{R})$ et $A \in \mathcal{M}_{d-1}(\mathbb{R})$ . Par hypothèse de récurrence appliquée à l'endomorphisme de $\mathbb{R}^{d-1}$ représenté par $A$ , il existe une base de ce sous-espace qui met $A$ sous la forme voulue. En recollant les bases, on obtient le résultat pour $u$ .
Second cas : $u$ n'admet aucune racine réelle. Alors $\chi_u$ admet une racine complexe $z = a+ib$ avec $b \neq 0$ . Le polynôme $P(X) = (X-z)(X-\bar{z}) = (X-a)^2 + b^2$ est à coefficients réels et divise $\chi_u$ dans $\mathbb{R}[X]$ (car si $z$ est racine, $\bar{z}$ l'est aussi avec la même multiplicité). Puisque $P(u)$ n'est pas inversible (son déterminant est nul dans $\mathbb{C}$ ), il existe $v \in E \setminus \{0\}$ tel que $P(u)(v) = 0$ , c'est-à-dire :
$(u-a \text{Id})^2(v) + b^2 v = 0$ Posons $w = \frac{1}{b}(u-a \text{Id})(v)$ . On a alors $u(v) = av + bw$ . Calculons $u(w)$ : $u(w) = \frac{1}{b}(u^2-au)(v) = \frac{1}{b}\left( u^2 - 2au + a^2 + au - a^2 \right)(v)$ En utilisant $(u-a \text{Id})^2(v) = -b^2 v$ , on obtient : $u(w) = \frac{1}{b}\left( -b^2 v + a(u-a \text{Id})(v) \right) = -bv + aw$ La famille $(v, w)$ est libre (sinon $v$ serait vecteur propre pour une valeur propre réelle, exclu ici). Le plan $P = \text{Vect}(v, w)$ est stable par $u$ et la matrice de la restriction de $u$ à $P$ dans la base $(v, w)$ est : $\boxed{ R = \begin{pmatrix} a & -b b & a \end{pmatrix} }$ Note : La forme demandée $\begin{pmatrix} a & b -b & a \end{pmatrix}$ s'obtient de la même manière en échangeant les rôles ou en changeant de signe. On complète ensuite la base de $P$ en une base de $E$ . La matrice est de la forme : $M = \begin{pmatrix} R & L 0 & A \end{pmatrix}$ où $A \in \mathcal{M}_{d-2}(\mathbb{R})$ . On conclut par l'hypothèse de récurrence sur $A$ .
Interprétation matricielle : Le résultat précédent signifie que toute matrice $M \in \mathcal{M}_d(\mathbb{R})$ est semblable dans $\mathcal{M}_d(\mathbb{R})$ à une matrice triangulaire par blocs dont les blocs diagonaux sont soit des scalaires (correspondant aux racines réelles de $\chi_M$ ), soit des matrices de rotation après homothétie de la forme $\begin{pmatrix} a & b -b & a \end{pmatrix}$ (correspondant aux paires de racines complexes conjuguées non réelles).
En d'autres termes, la classe de similitude de toute matrice réelle contient au moins une matrice de cette forme "quasi-triangulaire".

Attention à la liberté de la famille $(v, w)$ dans le cas complexe. Si $w = \lambda v$ , alors $u(v) = (a + \lambda b)v$ , ce qui donnerait une valeur propre réelle. L'hypothèse "pas de valeur propre réelle" est donc cruciale pour garantir que l'on a bien un plan stable et non une droite.