Décomposition en matrices diagonalisables

Soit $n$ un entier naturel non nul et $A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$ .

Démontrer que la matrice $A$ peut s'écrire comme la somme de deux matrices diagonalisables de $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$ .
On suppose dans cette question que $A$ est inversible. Montrer qu'il existe deux matrices diagonalisables $D_1$ et $D_2$ telles que $A = D_1 D_2$ .

1.

Pour les deux questions, utiliser le fait que toute matrice de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ est trigonalisable.

2.

Une matrice triangulaire dont les coefficients diagonaux sont deux à deux distincts est diagonalisable (car son polynôme caractéristique est scindé à racines simples).

3.

Pour la question 1, décomposer une matrice triangulaire $T$ sous la forme $(T-D) + D$ avec $D$ diagonale bien choisie.

4.

Pour la question 2, décomposer $T$ sous la forme $(T D^{-1}) D$ .

Idées clés

•

Théorème de trigonalisation sur $\mathbb{C}$ .

•

Critère suffisant de diagonalisabilité : $n$ valeurs propres distinctes.

•

Construction itérative de coefficients pour éviter un ensemble fini de valeurs.

Résolution.

Puisque le corps des complexes est algébriquement clos, le polynôme caractéristique de $A$ est scindé. Ainsi, $A$ est trigonalisable dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ . Il existe donc $P \in GL_n(\mathbb{C})$ et $T = (t_{i,j}) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ triangulaire supérieure telles que : $A = P T P^{-1}$
L'idée est de décomposer $T$ en $T = T_1 + T_2$ où $T_1$ et $T_2$ sont deux matrices triangulaires supérieures ayant des valeurs propres distinctes. Soit $D = \text{diag}(d_1, \dots, d_n)$ une matrice diagonale. On écrit :
$T = (T - D) + D$
Pour que $D$ soit diagonalisable, il suffit que ses coefficients diagonaux soient distincts. Pour que $T-D$ soit diagonalisable, il suffit que ses coefficients diagonaux, qui sont les $t_{i,i} - d_i$ , soient distincts. Cherchons donc $d_1, \dots, d_n \in \mathbb{C}$ tels que :
$\forall (i,j) \in \{1, \dots, n\}^2, i \neq j \implies d_i \neq d_j \text{et} t_{i,i} - d_i \neq t_{j,j} - d_j$
On peut construire ces coefficients par récurrence. Supposons $d_1, \dots, d_{k-1}$ choisis. Pour choisir $d_k$ , on doit éviter les valeurs :
$\{d_j \mid j < k\} \cup \{t_{k,k} - t_{j,j} + d_j \mid j < k\}$
Cet ensemble est fini (au plus $2(k-1)$ valeurs). Comme $\mathbb{C}$ est infini, un tel $d_k$ existe toujours. En posant $A_2 = P D P^{-1}$ et $A_1 = P (T-D) P^{-1}$ , on obtient :
$\boxed{A = A_1 + A_2}$ où $A_1$ et $A_2$ sont diagonalisables car semblables à des matrices ayant $n$ valeurs propres distinctes.
Si $A$ est inversible, sa forme triangulaire $T$ l'est aussi, donc ses coefficients diagonaux $t_{i,i}$ sont tous non nuls. On cherche cette fois une décomposition $T = T_1 D$ avec $D = \text{diag}(d_1, \dots, d_n)$ . Si on choisit $D$ inversible ( $d_i \neq 0$ ), alors $T = (T D^{-1}) D$ . $D$ est diagonalisable si les $d_i$ sont distincts. $T D^{-1}$ est une matrice triangulaire supérieure dont les coefficients diagonaux sont $\frac{t_{i,i}}{d_i}$ . Elle est diagonalisable si ces rapports sont distincts. On cherche donc $d_1, \dots, d_n \in \mathbb{C}^*$ tels que : $\forall i \neq j, d_i \neq d_j \text{et} \frac{t_{i,i}}{d_i} \neq \frac{t_{j,j}}{d_j}$
La seconde condition équivaut à $d_i \neq \frac{t_{i,i}}{t_{j,j}} d_j$ (ce qui est licite car $t_{j,j} \neq 0$ ). Pour chaque $k$ , le choix de $d_k$ doit éviter :
$\{0\} \cup \{d_j \mid j < k\} \cup \left\{ \frac{t_{k,k}}{t_{j,j}} d_j \mid j < k \right\}$
Cet ensemble est fini, donc le choix est possible dans $\mathbb{C}$ . En posant $D_2 = P D P^{-1}$ et $D_1 = P (T D^{-1}) P^{-1}$ , on a :
$\boxed{A = D_1 D_2}$ où $D_1$ et $D_2$ sont diagonalisables.

Attention à ne pas oublier que la diagonalisabilité d'une matrice triangulaire n'est pas automatique. Il faut impérativement assurer que les éléments diagonaux sont distincts (ou utiliser un polynôme annulateur à racines simples, ce qui revient au même ici).