Nilpotence de combinaisons linéaires de matrices

Soient $A$ et $B$ deux matrices de $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ . On suppose qu'il existe un ensemble $\mathcal{S} \subset \mathbb{K}$ de cardinal au moins $n+1$ tel que, pour tout $\lambda \in \mathcal{S}$ , la matrice $A + \lambda B$ soit nilpotente.

Démontrer que les matrices $A$ et $B$ sont elles-mêmes nilpotentes.

Note : On pourra notamment traiter le cas où $\mathcal{S} = \{2^0, 2^1, \dots, 2^n\}$ dans $\mathbb{C}$ .}

1.
Rappeler le lien entre la nilpotence d'une matrice et son polynôme caractéristique.
2.
Exprimer les coefficients du polynôme caractéristique de $A + \lambda B$ comme des polynômes en la variable $\lambda$ .
3.
Utiliser l'hypothèse sur le nombre de racines pour montrer que ces polynômes sont nuls.
4.
Conclure sur la nilpotence de $A$ et $B$ en étudiant les coefficients de ces polynômes.

Idées clés
•
Caractérisation de la nilpotence : $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ est nilpotente si et seulement si $\chi_M(X) = X^n$ .
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Les coefficients du polynôme caractéristique $\chi_{A+\lambda B}(X)$ sont des polynômes en $\lambda$ de degré borné.
•
Un polynôme de $\mathbb{K}[X]$ de degré au plus $n$ possédant au moins $n+1$ racines est le polynôme nul.
Résolution.

Étude des coefficients du polynôme caractéristique. Pour tout $\lambda \in \mathbb{K}$ , notons $\chi_{A+\lambda B}(X)$ le polynôme caractéristique de la matrice $A+\lambda B$ . On peut l'écrire sous la forme : $\chi_{A+\lambda B}(X) = \det(X I_n - (A + \lambda B)) = X^n + \sum_{k=1}^{n} c_k(\lambda) X^{n-k}$ D'après la formule du déterminant (développement par rapport aux colonnes ou formule de Leibniz), chaque coefficient $c_k(\lambda)$ est une fonction polynomiale en $\lambda$ . Plus précisément, $c_k(\lambda)$ est la somme (au signe près) des mineurs principaux de taille $k$ de la matrice $A+\lambda B$ . Chaque mineur étant un polynôme en $\lambda$ de degré au plus $k$ , on en déduit que : $\forall k \in \{1, \dots, n\}, \deg(c_k) \leqslant k \leqslant n$

Utilisation de l'hypothèse de nilpotence. Par hypothèse, pour tout $\lambda \in \mathcal{S}$ , la matrice $A+\lambda B$ est nilpotente. Cela équivaut à dire que son polynôme caractéristique est $\chi_{A+\lambda B}(X) = X^n$ . Par identification des coefficients, on en déduit : $\forall \lambda \in \mathcal{S}, \forall k \in \{1, \dots, n\}, c_k(\lambda) = 0$ Fixons $k \in \{1, \dots, n\}$ . Le polynôme $c_k$ est de degré au plus $k \leqslant n$ et s'annule en tous les points de $\mathcal{S}$ . Comme $\text{card}(\mathcal{S}) \geqslant n+1$ , le nombre de racines de $c_k$ est strictement supérieur à son degré. Par conséquent : $\boxed{\forall k \in \{1, \dots, n\}, c_k \text{ est le polynôme nul}}$

Conclusion pour la matrice $A$ . En évaluant les polynômes $c_k$ en $\lambda = 0$ , on obtient : $\forall k \in \{1, \dots, n\}, c_k(0) = 0$ Or, $c_k(0)$ est précisément le coefficient de $X^{n-k}$ dans $\chi_{A+0B}(X) = \chi_A(X)$ . Ainsi, $\chi_A(X) = X^n$ , ce qui prouve que : $\boxed{A \text{ est nilpotente}}$

Conclusion pour la matrice $B$ . Pour la matrice $B$ , examinons le terme de plus haut degré de chaque polynôme $c_k(\lambda)$ . Pour $\lambda \neq 0$ , on peut écrire : $\chi_{A+\lambda B}(X) = \det(X I_n - (A + \lambda B)) = \lambda^n \det\left(\frac{X}{\lambda} I_n - \left(B + \frac{1}{\lambda} A\right)\right)$ En posant $Y = \frac{X}{\lambda}$ , on a $\chi_{A+\lambda B}(\lambda Y) = \lambda^n \chi_{B + \frac{1}{\lambda} A}(Y)$ . Puisque $\chi_{A+\lambda B}(X) = X^n$ pour tout $\lambda \in \mathbb{K}$ (car les $c_k$ sont nuls), on a : $\lambda^n Y^n = \lambda^n \chi_{B + \frac{1}{\lambda} A}(Y) \implies \chi_{B + \frac{1}{\lambda} A}(Y) = Y^n$ Par continuité des coefficients du polynôme caractéristique (ou en faisant tendre $\lambda$ vers l'infini si $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ ), on obtient $\chi_B(Y) = Y^n$ . De manière purement algébrique, le coefficient de $\lambda^k$ dans $c_k(\lambda)$ est le coefficient de $X^{n-k}$ dans $\chi_B(X)$ . Comme $c_k$ est nul, tous ses coefficients le sont, donc : $\boxed{B \text{ est nilpotente}}$

Une erreur classique consiste à vouloir utiliser uniquement la trace. Si $\text{Tr}(A+\lambda B) = 0$ pour plusieurs valeurs de $\lambda$ , on peut seulement en déduire que $\text{Tr}(A) = 0$ et $\text{Tr}(B) = 0$ , ce qui est insuffisant pour conclure à la nilpotence (sauf si $n=1$ ). Il est impératif de considérer tous les coefficients du polynôme caractéristique.