Caractérisation de la nilpotence par le déterminant

Soient $n \in \mathbb{N}^*$ , $A \in GL_n(\mathbb{R})$ et $B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ .

On considère l'application $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie pour tout $t \in \mathbb{R}$ par :

f(t) = \det(A + tB)

Montrer que $f$ est une fonction constante si et seulement si la matrice $A^{-1}B$ est nilpotente.

1.

Commencer par factoriser la matrice $A$ à l'intérieur du déterminant pour faire apparaître la matrice $M = A^{-1}B$ .

2.

Remarquer que $f$ est un polynôme en $t$ . Que vaut $f(0)$ ?

3.

Exprimer $\det(I_n + tM)$ à l'aide des valeurs propres complexes de $M$ .

4.

Faire le lien entre la nullité de toutes les valeurs propres et la nilpotence.

Idées clés

•

Propriété multiplicative du déterminant : $\det(UV) = \det(U)\det(V)$ .

•

Lien entre déterminant et spectre : le déterminant est le produit des valeurs propres (comptées avec multiplicité).

•

Caractérisation de la nilpotence : une matrice est nilpotente si et seulement si son spectre (sur $\mathbb{C}$ ) est réduit à $\{0\}$ .

Résolution.

1. Réduction du problème.

Puisque $A$ est inversible, nous pouvons écrire pour tout $t \in \mathbb{R}$ :

A + tB = A(I_n + tA^{-1}B)

En posant $M = A^{-1}B$ , la propriété de multiplicité du déterminant donne :

f(t) = \det(A) \det(I_n + tM)

La fonction $f$ est constante si et seulement si l'application $g : t \mapsto \det(I_n + tM)$ est constante.

Comme $g(0) = \det(I_n) = 1$ , la condition est équivalente à :

\forall t \in \mathbb{R},   \det(I_n + tM) = 1

2. Utilisation du spectre de $M$ .

Soient $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ les $n$ valeurs propres de $M$ comptées avec multiplicité dans $\mathbb{C}$ . La matrice $I_n + tM$ est trigonalisable dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ et ses valeurs propres sont les complexes $(1 + t\lambda_i)_{1 \le i \le n}$ .

Le déterminant étant le produit des valeurs propres, nous avons :

\forall t \in \mathbb{R},   g(t) = \prod_{i=1}^n (1 + t\lambda_i)

3. Sens réciproque ( $\Leftarrow$ ).

Si $M$ est nilpotente, alors toutes ses valeurs propres sont nulles : $\lambda_1 = \dots = \lambda_n = 0$ . Dans ce cas :

\forall t \in \mathbb{R},   g(t) = \prod_{i=1}^n (1 + 0) = 1

L'application $g$ est constante, donc $f$ est constante.

4. Sens direct ( $\Rightarrow$ ).

Supposons que $g$ soit constante. Alors pour tout $t \in \mathbb{R}$ , $g(t) = 1$ . Le polynôme $P(t) = \prod_{i=1}^n (1 + t\lambda_i) - 1$ possède une infinité de racines (tout $\mathbb{R}$ ), il est donc le polynôme nul.

Si l'une des valeurs propres $\lambda_i$ était non nulle, alors pour $t = -1/\lambda_i$ , nous aurions :

g(-1/\lambda_i) = 0

Ce qui contredit

g(t) = 1

pour tout

t

.

Par conséquent, toutes les valeurs propres de $M$ sont nulles :

\boxed{ \text{Sp}_{\mathbb{C}}(M) = \{0\} }

Conclusion.

Une matrice dont le spectre est réduit à $\{0\}$ est nilpotente (son polynôme caractéristique est $X^n$ ). Ainsi, $M = A^{-1}B$ est nilpotente.

\boxed{ f \text{ est constante} \iff A^{-1}B \text{ est nilpotente} }

Attention à ne pas oublier que même si $A$ et $B$ sont réelles, l'analyse du spectre doit se faire sur $\mathbb{C}$ pour garantir l'existence des $n$ valeurs propres et la décomposition du polynôme.