Existence d'une matrice nilpotente non nulle

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $\mathbb{K}$ un corps. On considère un sous-espace vectoriel $V$ de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ .

Montrer que si $\dim V > \dfrac{n(n+1)}{2}$ , alors le sous-espace $V$ contient au moins une matrice nilpotente non nulle.

1.

Pensez à l'espace des matrices strictement triangulaires supérieures, noté $\mathcal{N}_n(\mathbb{K})$ .

2.

Quelle est la dimension de $\mathcal{N}_n(\mathbb{K})$ ?

3.

Utilisez la formule de Grassmann pour justifier que l'intersection de $V$ avec ce sous-espace est non réduite à $\{0\}$ .

Idées clés

•

Utilisation de la formule de Grassmann pour les dimensions.

•

Lien entre structure triangulaire stricte et nilpotence.

•

Comparaison avec la dimension de l'espace total $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ .

Résolution.

Considérons l'ensemble $\mathcal{N}_n(\mathbb{K})$ des matrices strictement triangulaires supérieures de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ .

On sait que cet ensemble est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ .

Calculons sa dimension. Une matrice $M = (m_{i,j})$ appartient à $\mathcal{N}_n(\mathbb{K})$ si et seulement si $m_{i,j} = 0$ pour tout $i \ge j$ .

Le nombre de coefficients au-dessus de la diagonale est donné par :

\frac{n^2 - n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}

On en déduit donc la dimension du sous-espace des matrices strictement triangulaires :

\boxed{\dim \mathcal{N}_n(\mathbb{K}) = \frac{n(n-1)}{2}}

Appliquons maintenant la formule de Grassmann au sous-espace $V$ et au sous-espace $\mathcal{N}_n(\mathbb{K})$ . Ces deux espaces sont des sous-espaces de $E = \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ , dont la dimension est $n^2$ . On a l'inégalité suivante sur la dimension de la somme :

\dim(V + \mathcal{N}_n(\mathbb{K})) \le \dim \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) = n^2

D'après la formule de Grassmann, la dimension de l'intersection est :

\dim(V \cap \mathcal{N}_n(\mathbb{K})) = \dim V + \dim \mathcal{N}_n(\mathbb{K}) - \dim(V + \mathcal{N}_n(\mathbb{K}))

En utilisant l'inégalité sur la somme, on obtient la minoration :

\dim(V \cap \mathcal{N}_n(\mathbb{K})) \ge \dim V + \dim \mathcal{N}_n(\mathbb{K}) - n^2

Injectons les valeurs et hypothèses de l'énoncé :

\dim(V \cap \mathcal{N}_n(\mathbb{K})) > \frac{n(n+1)}{2} + \frac{n(n-1)}{2} - n^2

Simplifions l'expression du membre de droite :

\frac{n^2 + n + n^2 - n}{2} - n^2 = \frac{2n^2}{2} - n^2 = 0

Nous avons donc établi que :

\boxed{\dim(V \cap \mathcal{N}_n(\mathbb{K})) > 0}

Par conséquent, l'intersection $V \cap \mathcal{N}_n(\mathbb{K})$ n'est pas réduite au vecteur nul. Il existe donc une matrice $N \in V$ telle que $N \neq 0$ et $N \in \mathcal{N}_n(\mathbb{K})$ .

Or, toute matrice strictement triangulaire supérieure est nilpotente (son polynôme caractéristique est $X^n$ ).

Conclusion : $V$ contient bien une matrice nilpotente non nulle.

Une erreur classique consiste à penser que si $\dim V > n(n-1)/2$ (la dimension de l'espace des nilpotents "standard"), le résultat est vrai. Or, le complémentaire de l'espace des nilpotents n'est pas un sous-espace. La borne $n(n+1)/2$ est bien plus restrictive et nécessaire, comme le montre le cas des matrices symétriques réelles.