Dimension d'algèbres de matrices nilpotentes

Résolution.

1. La sous-algèbre engendrée par $A$, notée $\mathbb{C}[A]$, est l'espace vectoriel des polynômes en $A$. Sa dimension est égale au degré du polynôme minimal de $A$, noté $\mu_A$. Comme $A$ est nilpotente, son unique valeur propre est $0$. Son polynôme caractéristique est donc $\chi_A(X) = X^n$. D'après le théorème de Cayley-Hamilton, $\mu_A$ divise $\chi_A$, donc $\mu_A(X) = X^k$ avec $1 \le k \le n$. La dimension de $\mathbb{C}[A]$ est donc $k$, et elle est maximale lorsque $k=n$.
   $$\boxed{\text{dim}_{\max}(\mathbb{C}[A]) = n}$$
   Ce maximum est atteint si et seulement si l'indice de nilpotence de $A$ est exactement $n$, ce qui correspond aux matrices nilpotentes dont le rang est $n-1$ (matrices semblables à un bloc de Jordan de taille $n$, ou matrices cycliques nilpotentes).

2. Soit $j \in \{1, \dots, m\}$ tel que $\text{rg}(A_j) = r$. On pose $A = A_j$. Puisque les matrices $A_i$ commutent deux à deux, chaque $A_i$ commute avec $A$. L'algèbre $\mathcal{A}$ étant engendrée par les $(A_i)$, tout élément $M \in \mathcal{A}$ est un polynôme en $A_1, \dots, A_m$. Par commutativité, tout élément de $\mathcal{A}$ commute avec $A$. On a donc :
   $$\mathcal{A} \subseteq C(A) = \{ M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) \mid MA = AM \}$$
   Il suffit donc de montrer que $\dim C(A) \le n(n-r)$. D'après la structure des endomorphismes nilpotents, il existe des vecteurs $x_1, \dots, x_k$ et des entiers $n_1, \dots, n_k$ tels que $\mathbb{C}^n$ soit la somme directe de sous-espaces cycliques $V_i$ :
   $$\mathbb{C}^n = \bigoplus_{i=1}^k V_i   \text{où}   V_i = \text{Vect}(x_i, A x_i, \dots, A^{n_i-1} x_i)$$
   Ici, $n_i$ est la dimension de $V_i$, donc $\sum_{i=1}^k n_i = n$. Le nombre de blocs $k$ est égal à la dimension du noyau de $A$ :
   $$\boxed{k = \dim \ker(A) = n - \text{rg}(A) = n-r}$$
   Soit $M \in C(A)$. La matrice $M$ est entièrement déterminée par les images des vecteurs générateurs $M(x_1), \dots, M(x_k)$. En effet, pour tout $j \in \{0, \dots, n_i-1\}$, on a $M(A^j x_i) = A^j M(x_i)$. Pour chaque $i \in \{1, \dots, k\}$, le vecteur $x_i$ vérifie $A^{n_i} x_i = 0$. Puisque $M$ et $A$ commutent, on a :
   $$A^{n_i} M(x_i) = M(A^{n_i} x_i) = M(0) = 0$$
   Ainsi, $M(x_i)$ appartient au sous-espace $\ker(A^{n_i})$. L'application linéaire $\Psi : C(A) \to \prod_{i=1}^k \ker(A^{n_i})$ définie par $\Psi(M) = (M(x_1), \dots, M(x_k))$ est injective par l'argument de détermination ci-dessus. Par conséquent :
   $$\dim C(A) \le \sum_{i=1}^k \dim \ker(A^{n_i})$$
   Comme pour tout $i$, $\ker(A^{n_i})$ est un sous-espace de $\mathbb{C}^n$, on a trivialement $\dim \ker(A^{n_i}) \le n$. D'où :
   $$\dim C(A) \le \sum_{i=1}^k n = k \cdot n$$
   En remplaçant $k$ par $n-r$, on obtient le résultat escompté :
   $$\boxed{\dim \mathcal{A} \le n(n-r)}$$