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Indice de nilpotence et inversion

nilpotenceinverseCayley-HamiltonSérie géométriquePolynôme caractéristique

Soit n∈N∗n \in \mathbb{N}^* et M∈Mn(R)M \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) une matrice nilpotente. On note dd son indice de nilpotence, c'est-à-dire le plus petit entier k≥1k \geq 1 tel que Mk=0M^k = 0.

  1. Établir que l'indice de nilpotence dd est inférieur ou égal à nn.
  2. Justifier que la matrice M2−InM^{2}-I_{n} est inversible et exprimer son inverse comme un polynôme en MM.

1.

Pour la question 1, on pourra utiliser le théorème de Cayley-Hamilton ou étudier la suite des noyaux itérés ker⁡(Mk)\ker(M^k).

2.

Pour la question 2, s'inspirer du développement en série géométrique 11−x=∑xk\frac{1}{1-x} = \sum x^k, valable lorsque xx est "petit" (ici, nilpotent).

Idées clés

•

Lien entre polynôme annulateur et dimension (Cayley-Hamilton).

•

Utilisation de la nilpotence pour tronquer une série entière.

Résolution.

  1. Comme MM est nilpotente, son unique valeur propre complexe est 0. Son polynôme caractéristique χM=det⁡(XIn−M)\chi_M = \det(XI_n - M) est donc nécessairement :
    χM=Xn\chi_M = X^n
    D'après le théorème de Cayley-Hamilton, le polynôme caractéristique est un polynôme annulateur de la matrice :
    Mn=0\boxed{M^n = 0}
    Par définition, dd est le plus petit entier tel que Md=0M^d = 0. L'existence de l'annulateur XnX^n impose alors :
    d≤n\boxed{d \leq n}

  2. Posons A=M2A = M^2. Comme MM est nilpotente, AA l'est également. En effet, Ad=(M2)d=(Md)2=0A^d = (M^2)^d = (M^d)^2 = 0. Considérons l'identité polynomiale suivante, valable pour tout N∈NN \in \mathbb{N} :
    (In−A)∑k=0NAk=In−AN+1(I_n - A) \sum_{k=0}^{N} A^k = I_n - A^{N+1}
    Comme AA est nilpotente d'indice p=⌈d/2⌉p = \lceil d/2 \rceil, on a Ap=0A^p = 0. En choisissant N≥p−1N \geq p-1, on obtient :
    (In−A)∑k=0NAk=In(I_n - A) \sum_{k=0}^{N} A^k = I_n
    Ainsi, In−M2I_n - M^2 est inversible. Son inverse est donné par :
    (In−M2)−1=∑k=0n−1(M2)k(I_n - M^2)^{-1} = \sum_{k=0}^{n-1} (M^2)^k
    On en déduit l'inverse de M2−InM^2 - I_n :
    (M2−In)−1=−∑k=0n−1M2k\boxed{(M^2 - I_n)^{-1} = -\sum_{k=0}^{n-1} M^{2k}}

Attention à ne pas oublier le signe "moins" lors du passage de (I−M2)−1(I-M^2)^{-1} à (M2−I)−1(M^2-I)^{-1}. De plus, il est crucial de préciser que la somme est finie grâce à la nilpotence.