Matrices à traces de puissances constantes

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$ .

Caractériser les matrices $A$ vérifiant la condition suivante :

\forall k \in \{1, \ldots, n\},   \operatorname{Tr}\left(A^{k}\right)=n

On pourra également traiter le cas où la condition est supposée vraie pour tout $k \in \{0, \ldots, n\}$ .

1.

Exprimer la trace à l'aide des valeurs propres de la matrice $A$ dans $\mathbb{C}$ .

2.

Utiliser les relations entre les sommes de Newton (sommes des puissances des racines) et les fonctions symétriques élémentaires des racines.

3.

Faire le lien entre les coefficients du polynôme caractéristique et les traces des puissances.

4.

Pour la réciproque, s'intéresser à la forme trigonalisée d'une telle matrice.

Idées clés

•

Lien entre trace et spectre : $\operatorname{Tr}(A^k) = \sum \lambda_i^k$ .

•

Les sommes de Newton $S_k = \sum \lambda_i^k$ pour $k=1 \dots n$ déterminent entièrement le polynôme caractéristique.

•

Définition de la nilpotence via le spectre.

Analyse du problème.

Soit $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ les valeurs propres de $A$ comptées avec multiplicité (elles existent car le corps est $\mathbb{C}$ ).

La trace d'une puissance de $A$ s'exprime par :

\forall k \in \mathbb{N},   \operatorname{Tr}(A^k) = \sum_{j=1}^n \lambda_j^k

L'hypothèse de l'énoncé se traduit donc par le système suivant :

\begin{cases} \lambda_1 + \dots + \lambda_n = n \lambda_1^2 + \dots + \lambda_n^2 = n \vdots \lambda_1^n + \dots + \lambda_n^n = n \end{cases}

Utilisation des relations de Newton.

Soit $\chi_A(X) = \prod_{j=1}^n (X - \lambda_j) = X^n + \sum_{p=0}^{n-1} a_p X^p$ le polynôme caractéristique de $A$ .

Les coefficients $(a_p)$ sont liés aux fonctions symétriques élémentaires des valeurs propres, qui sont elles-mêmes liées aux sommes des puissances $S_k = \sum \lambda_j^k$ par les formules de Newton.

Or, on remarque que les valeurs propres de la matrice identité $I_n$ sont toutes égales à $1$ .

Pour $I_n$ , les sommes des puissances sont $S_k(I_n) = \sum_{j=1}^n 1^k = n$ .

Puisque les sommes des puissances $S_1, \dots, S_n$ coïncident pour $A$ et pour $I_n$ , ces deux matrices possèdent le même polynôme caractéristique.

\boxed{ \chi_A(X) = \chi_{I_n}(X) = (X-1)^n }

Conclusion sur la structure de A.

Puisque le polynôme caractéristique de $A$ est $(X-1)^n$ , la seule valeur propre de $A$ est $1$ avec une multiplicité $n$ .

Dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ , toute matrice est trigonalisable. Il existe donc $P \in GL_n(\mathbb{C})$ et $T$ triangulaire supérieure telles que :

A = P T P^{-1}   \text{avec}   T = \begin{pmatrix} 1 & \dots & * & \ddots & \vdots 0 & & 1 \end{pmatrix}

On peut alors décomposer $A$ sous la forme $A = I_n + N$ où $N$ est une matrice dont le polynôme caractéristique est $X^n$ .

D'après le théorème de Cayley-Hamilton (ou par propriété des matrices triangulaires à diagonale nulle), $N$ est nilpotente.

Synthèse.

Réciproquement, si $A - I_n$ est nilpotente, alors $A$ est semblable à une matrice triangulaire supérieure dont la diagonale est constituée uniquement de $1$ .

Alors pour tout $k \in \mathbb{N}$ , $A^k$ est semblable à une matrice triangulaire supérieure dont la diagonale est constituée de $1^k = 1$ .

Par conséquent :

\forall k \in \mathbb{N},   \operatorname{Tr}(A^k) = \sum_{j=1}^n 1 = n

La condition sur $k=0$ (si elle est donnée) est toujours satisfaite car $A^0 = I_n$ et $\operatorname{Tr}(I_n) = n$ .

\boxed{ \text{La condition est vérifiée si et seulement si } A - I_n \text{ est nilpotente.} }

Une erreur classique est de conclure que $A = I_n$ . Il ne faut pas oublier que la trace ne caractérise pas la matrice elle-même, mais seulement son spectre (via les puissances). Une matrice peut avoir les mêmes valeurs propres que $I_n$ sans être égale à $I_n$ .