Traces des puissances et polynôme caractéristique

Résolution.

1. Sens direct : Si $A$ est nilpotente, sa seule valeur propre est $0$. Comme $A$ est trigonalisable sur $\mathbb{C}$, il existe $P \in GL_n(\mathbb{C})$ telle que $P^{-1}AP = T$ où $T$ est triangulaire supérieure avec des $0$ sur la diagonale. Alors $T^k$ est également triangulaire supérieure avec des $0$ sur la diagonale pour tout $k \ge 1$.
   $$\forall k \in \llbracket 1, n \rrbracket,   \operatorname{Tr}(A^k) = \operatorname{Tr}(T^k) = \boxed{0}$$

   Sens réciproque : Notons $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ les valeurs propres de $A$ comptées avec multiplicité. On sait que $\operatorname{Tr}(A^k) = \sum_{i=1}^n \lambda_i^k$. Les relations de Newton relient les sommes de Newton $p_k = \sum \lambda_i^k$ aux coefficients $e_k$ du polynôme caractéristique $\chi_A(X) = X^n + \sum_{k=1}^n (-1)^k e_k X^{n-k}$ :

   $$\forall k \in \llbracket 1, n \rrbracket,   k e_k = \sum_{j=1}^k (-1)^{j-1} e_{k-j} p_j$$
   Par l'hypothèse $p_1 = p_2 = \dots = p_n = 0$, on montre par une récurrence immédiate que :
   $$\forall k \in \llbracket 1, n \rrbracket,   \boxed{e_k = 0}$$
   Ainsi, $\chi_A(X) = X^n$. D'après le théorème de Cayley-Hamilton, $A^n = 0$, donc $A$ est nilpotente.

2. Le résultat est faux en caractéristique finie. Soit $\mathbb{K}$ un corps de caractéristique $p > 0$. Considérons $A = I_p \in \mathcal{M}_p(\mathbb{K})$. Pour tout $k \ge 1$, $A^k = I_p$, donc $\operatorname{Tr}(A^k) = \sum_{i=1}^p 1 = p \cdot 1_{\mathbb{K}} = 0$. Pourtant, $A$ n'est pas nilpotente car $A^k = I_p \neq 0$ pour tout $k$.

3. On a vu que les coefficients $e_k$ de $\chi_A$ sont entièrement déterminés par les traces $p_1, \dots, p_n$ via les relations de Newton (qui sont valables dès que la caractéristique du corps est nulle ou strictement supérieure à $n$). Comme $\mathbb{C}$ est de caractéristique nulle, si $\operatorname{Tr}(A^k) = \operatorname{Tr}(B^k)$ pour tout $k \in \llbracket 1, n \rrbracket$, alors les coefficients $e_k(A)$ et $e_k(B)$ sont identiques deux à deux.
   $$\boxed{\chi_A = \chi_B}$$
   La réciproque est évidente : si $\chi_A = \chi_B$, $A$ et $B$ ont les mêmes valeurs propres avec les mêmes multiplicités, donc les mêmes traces de puissances.

4. Calcul du polynôme caractéristique : On utilise à nouveau les relations de Newton. Par hypothèse, $p_1 = p_2 = \dots = p_{n-1} = 0$. D'après la question 1, $e_1 = e_2 = \dots = e_{n-1} = 0$. Pour $k=n$, la relation devient :
   $$n e_n = (-1)^{n-1} e_0 p_n = (-1)^{n-1} p_n   (\text{car } e_0=1)$$
   D'où $e_n = \frac{(-1)^{n-1}}{n} \operatorname{Tr}(A^n)$. Le polynôme caractéristique est :
   $$\boxed{\chi_A(X) = X^n + (-1)^n \frac{(-1)^{n-1}}{n} \operatorname{Tr}(A^n) = X^n - \frac{1}{n} \operatorname{Tr}(A^n)}$$
   Diagonalisabilité : Posons $c = \frac{1}{n} \operatorname{Tr}(A^n) \neq 0$. On a $\chi_A(X) = X^n - c$. Ce polynôme possède $n$ racines distinctes dans $\mathbb{C}$ (les racines $n$-ièmes de $c$). Comme le polynôme caractéristique de $A$ est scindé à racines simples sur $\mathbb{C}$, la matrice $A$ est \boxed{\text{diagonalisable}}.

5. Posons $w = [u, v]$. L'hypothèse est $u w = w u$. Montrons par récurrence sur $k \ge 1$ que $w^k$ est un commutateur de la forme $[u, \text{quelque chose}]$. Pour $k=1$, $w = [u, v]$ par définition. Supposons $w^k = u x_k - x_k u$ pour un certain $x_k$. Alors :
   $$w^{k+1} = w \cdot w^k = w (ux_k - x_k u) = wux_k - wx_k u$$
   Comme $u$ et $w$ commutent, on a :
   $$w^{k+1} = uwx_k - x_k w u = u(wx_k) - (x_k w)u = [u, wx_k]$$
   Comme toute trace d'un commutateur est nulle, on en déduit :
   $$\forall k \ge 1,   \operatorname{Tr}(w^k) = \operatorname{Tr}([u, x_k]) = 0$$
   D'après le résultat de la question 1, l'endomorphisme $w = [u, v]$ est \boxed{\text{nilpotent}}.