Nilpotence et commutateurs de matrices

Soient $n \in \mathbb{N}^*$ et $A, B$ deux matrices de $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$ .

On suppose qu'il existe un scalaire non nul $\alpha \in \mathbb{C}^{*}$ tel que : $AB - BA = \alpha A$ Démontrer que la matrice $A$ est nécessairement nilpotente.
On considère maintenant le cas plus général où l'on pose $C = AB - BA$ . On suppose que $C$ commute avec la matrice $A$ (c'est-à-dire $AC = CA$ ). Montrer que $C$ est une matrice nilpotente.

1.

Pour la question 1, considérez l'endomorphisme de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ défini par $\phi(X) = BX - XB$ et étudiez ses valeurs propres potentielles en calculant $\phi(A^k)$ .

2.

Pour la question 2, exprimez $C^k$ comme un commutateur en exploitant la relation $AC=CA$ pour montrer que sa trace est nulle pour tout $k \in \mathbb{N}^*$ . Utilisez ensuite le lien entre la trace des puissances et la nilpotence sur $\mathbb{C}$ .

Idées clés

•

Étude des valeurs propres d'un endomorphisme d'espace vectoriel de dimension finie.

•

Propriété de la trace d'un commutateur : $\text{Tr}(XY - YX) = 0$ .

•

Caractérisation des matrices nilpotentes par la trace des puissances successives.

Résolution.

Soit $\phi$ l'endomorphisme de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ défini par : $\forall X \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}), \phi(X) = BX - XB$
Remarquons que la condition de l'énoncé s'écrit $\phi(A) = - \alpha A$ . Ainsi, si $A \neq 0$ , $A$ est un vecteur propre de $\phi$ associé à la valeur propre $-\alpha$ .
Calculons $\phi(A^2)$ en utilisant la règle de dérivation du crochet :
$\phi(A^2) = B A^2 - A^2 B = (BA - AB) A + A (BA - AB)$
En remplaçant $BA - AB$ par $-\alpha A$ , on obtient :
$\phi(A^2) = (-\alpha A) A + A (-\alpha A) = -2\alpha A^2$
Par une récurrence immédiate, on montre que pour tout $k \in \mathbb{N}^*$ :
$\boxed{\phi(A^k) = -k\alpha A^k}$
Si la matrice $A$ n'est pas nilpotente, alors pour tout $k \in \mathbb{N}^*$ , $A^k \neq 0$ . Dans ce cas, chaque scalaire $-k\alpha$ est une valeur propre de l'endomorphisme $\phi$ .
Or, $\phi$ est un endomorphisme d'un espace de dimension finie ( $n^2$ ). Il ne peut donc posséder qu'un nombre fini de valeurs propres.
Comme $\alpha \neq 0$ , les valeurs $(-k\alpha)_{k \in \mathbb{N}^*}$ sont toutes distinctes. Ceci impose l'existence d'un entier $k$ tel que $A^k = 0$ .

$\boxed{A \text{ est nilpotente}}$
Supposons que $C = AB - BA$ commute avec $A$ . Montrons par récurrence que pour tout $k \in \mathbb{N}^*$ , $C^k$ est le commutateur de deux matrices.
Puisque $A$ et $C$ commutent, $A$ commute avec toutes les puissances de $C$ . Pour $k \in \mathbb{N}^*$ , on peut écrire :
$C^k = C^{k-1} (AB - BA) = C^{k-1}AB - C^{k-1}BA$
En utilisant le fait que $C^{k-1}A = AC^{k-1}$ , on obtient :
$C^k = A (C^{k-1}B) - (C^{k-1}B) A$
Soit $X = A$ et $Y_k = C^{k-1}B$ . Nous avons établi que :
$\boxed{C^k = XY_k - Y_kX}$
La trace d'un commutateur étant nulle, il en découle :
$\forall k \in \{1, \dots, n\}, \text{Tr}(C^k) = 0$
Soient $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ les valeurs propres de $C$ dans $\mathbb{C}$ (comptées avec multiplicité). La condition sur les traces se traduit par le système suivant :
$\forall k \in \{1, \dots, n\}, \sum_{i=1}^n \lambda_i^k = 0$
D'après les relations de Newton, cela implique que tous les coefficients du polynôme caractéristique de $C$ (sauf le terme de plus haut degré) sont nuls. Ainsi, $\chi_C(X) = X^n$ .
Par le théorème de Cayley-Hamilton, ou simplement car son spectre est réduit à $\{0\}$ , la matrice $C$ est nilpotente.

$\boxed{C \text{ est nilpotente}}$

Attention à ne pas oublier l'hypothèse $\alpha \neq 0$ dans la première question. Si $\alpha = 0$ , $A$ et $B$ commutent, et $A$ n'a aucune raison d'être nilpotente (prendre $A=I_n$ ).