Diagonalisation d'une matrice définie par blocs

Résolution.

1. Étude de la matrice $A$.

   Le polynôme caractéristique de $A$ est donné par :

   $$\chi_A(\lambda) = \det(A - \lambda I_2) = \begin{vmatrix} 2-\lambda & 1$$
   1 & 2-\lambda \end{vmatrix} = (2-\lambda)^2 - 1

   En utilisant l'identité remarquable $a^2 - b^2$, on obtient :

   $$\chi_A(\lambda) = (2-\lambda - 1)(2-\lambda + 1) = (1-\lambda)(3-\lambda)$$

   Les valeurs propres de $A$ sont donc $1$ et $3$. Comme $A$ possède deux valeurs propres distinctes en dimension 2, elle est diagonalisable.

   Cherchons les vecteurs propres associés :

   • Pour $\lambda = 3$ : $A \begin{pmatrix} x$
     y \end{pmatrix} = 3 \begin{pmatrix} x
     y \end{pmatrix} \iff x = y. On choisit $v_1 = \begin{pmatrix} 1$
     1 \end{pmatrix}.
   • Pour $\lambda = 1$ : $A \begin{pmatrix} x$
     y \end{pmatrix} = 1 \begin{pmatrix} x
     y \end{pmatrix} \iff x = -y. On choisit $v_2 = \begin{pmatrix} 1$
     -1 \end{pmatrix}.
   $$\boxed{\text{Sp}(A) = \{1, 3\}   \text{et}   A \text{ est diagonalisable.}}$$

2. Recherche des éléments propres de $B$.

   Soit $X = \begin{pmatrix} X_1$
   X_2 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^4 \setminus \{0\} un vecteur propre de $B$ pour la valeur propre $\mu$. L'équation $BX = \mu X$ se traduit par le système :

   $$\begin{cases} AX_1 + AX_2 = \mu X_1$$
   AX_1 + AX_2 = \mu X_2 \end{cases}

   Par soustraction, on obtient $\mu(X_1 - X_2) = 0$. Deux cas se présentent :

   Premier cas : $\mu = 0$. Le système se réduit à $A(X_1 + X_2) = 0$. Comme $A$ est inversible ($\det A = 3 \neq 0$), on doit avoir $X_2 = -X_1$. On peut choisir deux vecteurs linéairement indépendants en fixant $X_1$ comme les vecteurs de la base canonique de $\mathbb{R}^2$ :

   $$W_1 = \begin{pmatrix} 1$$
   0
   -1
   0 \end{pmatrix}   \text{et}   W_2 = \begin{pmatrix} 0
   1
   0
   -1 \end{pmatrix}

   Second cas : $\mu \neq 0$. Alors $X_1 = X_2$. Le système devient $2AX_1 = \mu X_1$. Ainsi, $X_1$ doit être un vecteur propre de $A$ associé à une valeur propre $\lambda$, et on aura $\mu = 2\lambda$.

   D'après la question 1, les valeurs propres possibles pour $\mu$ sont $2 \times 1 = 2$ et $2 \times 3 = 6$.

   • Pour $\mu = 2$, on prend $X_1 = v_2$, d'où $W_3 = \begin{pmatrix} 1$
     -1
     1
     -1 \end{pmatrix}.
   • Pour $\mu = 6$, on prend $X_1 = v_1$, d'où $W_4 = \begin{pmatrix} 1$
     1
     1
     1 \end{pmatrix}.
   $$\boxed{\text{Sp}(B) = \{0, 2, 6\}}$$

3. Conclusion sur la réduction.

   La famille $(W_1, W_2, W_3, W_4)$ forme une base de vecteurs propres de $B$. La matrice de passage est :

   $$\boxed{P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1$$
   0 & 1 & -1 & 1
   -1 & 0 & 1 & 1
   0 & -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}}

   La matrice diagonale associée est :

   $$\boxed{D = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0$$
   0 & 0 & 0 & 0
   0 & 0 & 2 & 0
   0 & 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}}