Diagonalisation d'une matrice par blocs

1. Recherche des valeurs propres de $B$.

Soit $\lambda \in \mathbb{C}$. On calcule le polynôme caractéristique $\chi_B(\lambda) = \det(\lambda I_{2n} - B)$. Par blocs, on a :

Comme le bloc $\lambda I_n$ commute avec $-2A$, on peut utiliser la formule du déterminant par blocs : Soient $\mu_1, \dots, \mu_n$ les valeurs propres de $A$ comptées avec multiplicité. Comme on travaille sur $\mathbb{C}$, on peut trigonaliser $A$ (ou utiliser ses valeurs propres dans le déterminant) : Les valeurs propres de $B$ sont donc les racines des équations $z^2 - \mu_i z - 2\mu_i = 0$ pour $i \in \{1, \dots, n\}$.

2. Analyse des vecteurs propres.

Soit $V = \begin{pmatrix} X$
Y \end{pmatrix} \in \mathbb{C}^{2n} avec $X, Y \in \mathbb{C}^n$. L'équation $BV = \lambda V$ équivaut au système :

Si $\lambda = -2$, alors la seconde équation donne $0 = 4X$, donc $X=0$ et $Y=0$, ce qui est impossible pour un vecteur propre. Ainsi, $\lambda \neq -2$. On en déduit que $X$ doit être un vecteur propre de $A$ associé à la valeur propre $\mu = \frac{\lambda^2}{\lambda+2}$ (ou $X \in \text{Ker}(A)$ si $\lambda = 0$).

3. Condition nécessaire.

Supposons $B$ diagonalisable. Alors toute valeur propre de $B$ doit avoir une dimension de sous-espace propre égale à sa multiplicité algébrique. Soit $\mu$ une valeur propre de $A$. Les valeurs propres correspondantes pour $B$ sont les racines de $P_\mu(z) = z^2 - \mu z - 2\mu$. Le discriminant de ce trinôme est $\Delta_\mu = \mu^2 + 8\mu = \mu(\mu + 8)$.

Cas $\mu = 0$ ou $\mu = -8$ : Si $\mu=0$, $P_0(z) = z^2$, donc $\lambda=0$ est racine double. Le sous-espace propre associé est $E_0(B) = \{ \begin{pmatrix} X$
0 \end{pmatrix} \mid AX=0 \} = \text{Ker}(A) \times \{0\}. Sa dimension est $\dim \text{Ker}(A)$. Or, si $\mu=0$ est de multiplicité $m$ dans $A$, $\lambda=0$ est de multiplicité $2m$ dans $B$. Pour la diagonalisabilité, il faut $\dim \text{Ker}(A) = 2m$. Or $\dim \text{Ker}(A) \leq m$, donc $2m \leq m \implies m=0$. Ainsi, $0$ ne peut pas être valeur propre de $A$.

Par un raisonnement identique, si $\mu=-8$, $P_{-8}(z) = (z+4)^2$. La dimension de $E_{-4}(B)$ serait $\dim \text{Ker}(A+8I)$, alors que sa multiplicité est $2 \times \text{mult}_A(-8)$. Cela impose que $-8$ n'est pas valeur propre de $A$.

Diagonalisabilité de $A$ : Puisque $B$ est diagonalisable, il existe une base de $\mathbb{C}^{2n}$ formée de vecteurs propres $V_j = \begin{pmatrix} X_j$
\lambda_j X_j \end{pmatrix}. La famille des premiers blocs $(X_j)_{1 \leq j \leq 2n}$ engendre nécessairement $\mathbb{C}^n$ par projection. Comme chaque $X_j$ non nul est un vecteur propre de $A$, $A$ possède une famille génératrice de vecteurs propres, donc $A$ est diagonalisable.

4. Condition suffisante.

Supposons $A$ diagonalisable et $\text{Sp}(A) \cap \{0, -8\} = \emptyset$. Alors pour chaque $\mu \in \text{Sp}(A)$, le trinôme $z^2 - \mu z - 2\mu$ possède deux racines distinctes $\lambda_{\mu, 1}$ et $\lambda_{\mu, 2}$. Soit $(u_1, \dots, u_n)$ une base de vecteurs propres de $A$ associée aux valeurs propres $(\mu_1, \dots, \mu_n)$. Pour chaque $i \in \{1, \dots, n\}$, on définit les vecteurs de $\mathbb{C}^{2n}$ :

On vérifie aisément que ces $2n$ vecteurs sont des vecteurs propres de $B$. Ils forment une famille libre (par un argument de type Vandermonde sur les blocs car $\lambda_{\mu_i, 1} \neq \lambda_{\mu_i, 2}$). Ainsi, $B$ est diagonalisable.

Conclusion :