Diagonalisabilité des matrices antisymétriques d'ordre 2

Soit $A \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$ une matrice antisymétrique, c'est-à-dire vérifiant $A^T = -A$ .

Démontrer que $A$ est diagonalisable dans $\mathcal{M}_{2}(\mathbb{C})$ .

1.

Commencer par expliciter la forme générale d'une matrice antisymétrique de taille $2 \times 2$ .

2.

Calculer son polynôme caractéristique $\chi_A$ .

3.

Étudier les racines de ce polynôme dans $\mathbb{C}$ en distinguant le cas où la matrice est nulle du cas où elle ne l'est pas.

4.

Utiliser le critère de diagonalisabilité portant sur le nombre de racines distinctes du polynôme caractéristique.

Idées clés

•

Forme paramétrée des matrices antisymétriques de taille 2.

•

Calcul du polynôme caractéristique et recherche de ses racines complexes.

•

Théorème : une matrice de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ possédant $n$ valeurs propres distinctes est diagonalisable.

Résolution.

Considérons une matrice $A = \begin{pmatrix} a & b c & d \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ .

Par définition, $A$ est antisymétrique si et seulement si $A^T = -A$ , ce qui se traduit par :

\begin{pmatrix} a & c b & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -a & -b -c & -d \end{pmatrix}

On en déduit immédiatement que les coefficients diagonaux sont nuls ( $a = -a$ et $d = -d$ , donc $a = d = 0$ ) et que les coefficients extra-diagonaux sont opposés ( $c = -b$ ).

Ainsi, il existe un réel $\alpha \in \mathbb{R}$ tel que :

\boxed{ A = \begin{pmatrix} 0 & -\alpha \alpha & 0 \end{pmatrix} }

Calculons maintenant le polynôme caractéristique de $A$ , noté $\chi_A(X) = \det(XI_2 - A)$ :

\chi_A(X) = \begin{vmatrix} X & \alpha -\alpha & X \end{vmatrix} = X^2 + \alpha^2

Cherchons les racines de ce polynôme dans $\mathbb{C}$ . Nous devons distinguer deux cas selon la valeur de $\alpha$ :

Premier cas : $\alpha = 0$ .

Si $\alpha = 0$ , alors la matrice $A$ est la matrice nulle :

A = \begin{pmatrix} 0 & 0 0 & 0 \end{pmatrix}

La matrice nulle est déjà diagonale, elle est donc trivialement diagonalisable sur $\mathbb{R}$ (et donc sur $\mathbb{C}$ ).

Second cas : $\alpha \neq 0$ .

Si $\alpha \neq 0$ , le polynôme caractéristique $\chi_A(X) = X^2 + \alpha^2$ possède deux racines complexes distinctes, qui sont $i\alpha$ et $-i\alpha$ .

Puisque $\alpha \neq 0$ , on a $i\alpha \neq -i\alpha$ .

Le polynôme caractéristique de $A \in \mathcal{M}_2(\mathbb{C})$ possède donc deux racines simples dans $\mathbb{C}$ .

D'après le cours, une matrice de taille $n$ ayant $n$ valeurs propres distinctes est diagonalisable.

I²ci, $n=2$ et nous avons deux valeurs propres distinctes dans $\mathbb{C}$ .

\boxed{ \text{La matrice } A \text{ est diagonalisable dans } \mathcal{M}_2(\mathbb{C}). }

L'erreur classique est d'oublier de traiter le cas de la matrice nulle. Si la matrice est nulle, le polynôme caractéristique possède une racine double (0), mais la matrice reste diagonalisable car elle est déjà diagonale. Le critère des "racines simples" est une condition suffisante, mais pas nécessaire.