Inversion et puissances d'une matrice à coefficients uniformes hors diagonale

Soit $n$ un entier naturel tel que $n \ge 2$ . Soient $(a, b) \in \mathbb{R}^{2}$ . On considère la matrice $A \in \mathrm{M}_{n}(\mathbb{R})$ définie par :

A = \begin{pmatrix} a & b & \cdots & b b & a & \ddots & \vdots \vdots & \ddots & \ddots & b b & \cdots & b & a \end{pmatrix}

Exprimer la matrice $A$ à l'aide de la matrice identité $I_n$ et de la matrice $J \in \mathrm{M}_{n}(\mathbb{R})$ dont tous les coefficients sont égaux à $1$ .
Déterminer les valeurs propres de $A$ .
À l'aide d'un polynôme annulateur de degré 2, déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que $A$ soit inversible. Calculer alors $A^{-1}$ sous la forme d'une combinaison linéaire de $I_n$ et $J$ .
Pour tout $k \in \mathbb{N}$ , exprimer $A^{k}$ en fonction de $a, b, n, I_n, J$ .

1.

On pourra remarquer que $J^2 = nJ$ et en déduire que $J$ admet un polynôme annulateur simple.

2.

Les valeurs propres de $J$ sont faciles à identifier (matrice de rang 1). Celles de $A$ s'en déduisent par la relation $A = (a-b)I_n + bJ$ .

3.

Pour $A^k$ , on peut utiliser la formule du binôme de Newton (en vérifiant que les matrices commutent) ou effectuer la division euclidienne de $X^k$ par un polynôme annulateur de $A$ .

Idées clés

•

Décomposition sur la base $(I_n, J)$ où $J$ est la matrice "tout à 1".

•

Utilisation de la relation de structure $J^2 = nJ$ .

•

Application de la formule du binôme de Newton dans l'algèbre engendrée par $J$ .

Résolution.

On remarque immédiatement que les coefficients de $A$ sont $a$ sur la diagonale et $b$ ailleurs. On peut donc écrire $A = (a-b)I_n + bJ$ , où $J$ est la matrice dont toutes les entrées valent 1 : $\boxed{A = (a-b)I_n + bJ}$
La matrice $J$ est de rang 1 (toutes ses colonnes sont identiques et non nulles). Son noyau est donc de dimension $n-1$ . Ainsi, $0$ est valeur propre de $J$ avec une multiplicité géométrique de $n-1$ . De plus, le vecteur $X = (1, \dots, 1)^T$ vérifie $JX = nX$ , donc $n$ est la dernière valeur propre (de multiplicité 1). Comme $A$ est une fonction affine de $J$ , ses valeurs propres s'obtiennent en appliquant la même transformation aux valeurs propres de $J$ : $\text{Sp}(A) = \{ (a-b) + b \cdot 0, (a-b) + b \cdot n \} = \{ a-b, a+(n-1)b \}$
Polynôme annulateur : On sait que $J^2 = nJ$ . On cherche un polynôme $P$ tel que $P(A)=0$ . Si $b=0$ , alors $A=aI_n$ et le polynôme $X-a$ convient. Si $b \neq 0$ , on exprime $J = \frac{1}{b}(A-(a-b)I_n)$ . En injectant dans $J^2 - nJ = 0$ , on obtient : $\frac{1}{b^2}(A-(a-b)I_n)^2 - \frac{n}{b}(A-(a-b)I_n) = 0$
Après simplification, cela revient à dire que $A$ est annulée par le polynôme dont les racines sont les valeurs propres trouvées précédemment :
$P(X) = (X - (a-b))(X - (a+(n-1)b))$
Condition d'inversibilité : La matrice $A$ est inversible si et seulement si son spectre ne contient pas 0.
$\boxed{A \in \text{GL}_n(\mathbb{R}) \iff a \neq b \text{et} a \neq -(n-1)b}$
Calcul de l'inverse : Supposons $A$ inversible. Le polynôme $P(X) = X^2 - (2a+(n-2)b)X + (a-b)(a+(n-1)b)$ annule $A$ . On a donc $A^2 - (2a+(n-2)b)A = -(a-b)(a+(n-1)b)I_n$ . En factorisant par $A$ et en isolant $I_n$ , on trouve :
$A \cdot \left[ \frac{-1}{(a-b)(a+(n-1)b)} (A - (2a+(n-2)b)I_n) \right] = I_n$
En remplaçant $A$ par $(a-b)I_n + bJ$ dans le crochet, on obtient :
$\boxed{A^{-1} = \frac{1}{a-b} I_n - \frac{b}{(a-b)(a+(n-1)b)} J}$
Calcul de $A^k$ : On utilise la formule du binôme de Newton. Comme $I_n$ et $J$ commutent : $A^k = ((a-b)I_n + bJ)^k = \sum_{j=0}^k \binom{k}{j} (a-b)^{k-j} (bJ)^j$
On utilise la propriété $J^j = n^{j-1}J$ pour tout $j \ge 1$ , et $J^0 = I_n$ :
$A^k = (a-b)^k I_n + \sum_{j=1}^k \binom{k}{j} (a-b)^{k-j} b^j n^{j-1} J$
On factorise par $1/n$ dans la somme pour faire apparaître le binôme :
$A^k = (a-b)^k I_n + \frac{1}{n} \left[ \sum_{j=1}^k \binom{k}{j} (a-b)^{k-j} (bn)^j \right] J$
La somme entre crochets est égale à $((a-b) + bn)^k - (a-b)^k$ d'après la formule du binôme. On conclut :
$\boxed{A^k = (a-b)^k I_n + \frac{(a+(n-1)b)^k - (a-b)^k}{n} J}$

Attention à ne pas oublier le terme $j=0$ dans la formule du binôme. La relation $J^j = n^{j-1}J$ n'est pas valable pour $j=0$ car $J^0 = I_n$ alors que $n^{-1}J$ n'a aucune raison d'être égal à l'identité.