Équation exponentielle matricielle dans $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$

_2(\mathbb{R})$}

On considère l'espace vectoriel $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ des matrices carrées d'ordre $2$ à coefficients réels.

Déterminer s'il existe une matrice $A \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ telle que :

\exp(A) = -I_2

où

I_2

désigne la matrice identité de

\mathcal{M}_2(\mathbb{R})

.

1.

Utiliser le lien entre les valeurs propres d'une matrice $A$ et celles de son exponentielle $\exp(A)$ .

2.

Se souvenir qu'une matrice réelle dont le polynôme caractéristique est de degré $2$ a soit deux valeurs propres réelles, soit deux valeurs propres complexes conjuguées.

3.

Pour la construction d'un candidat, penser aux matrices de la forme $\begin{pmatrix} 0 & -\theta \theta & 0 \end{pmatrix}$ .

Idées clés

•

Lien spectral : $\text{Sp}(\exp(A)) = \{ e^\lambda \mid \lambda \in \text{Sp}(A) \}$ .

•

Propriété des matrices réelles : les valeurs propres non réelles apparaissent par paires conjuguées.

•

Calcul de l'exponentielle des matrices antisymétriques de taille $2$ .

Analyse nécessaire.

Supposons qu'une telle matrice $A \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ existe. Soit $\text{Sp}_{\mathbb{C}}(A) = \{ \lambda_1, \lambda_2 \}$ le spectre de $A$ dans $\mathbb{C}$ .

D'après le cours, les valeurs propres de $\exp(A)$ sont les exponentielles des valeurs propres de $A$ . Comme $\exp(A) = -I_2$ , la seule valeur propre de $\exp(A)$ est $-1$ .

On en déduit l'égalité d'ensembles :

\{ e^{\lambda_1}, e^{\lambda_2} \} = \{ -1 \}

Ceci impose que $e^{\lambda_1} = -1$ et $e^{\lambda_2} = -1$ . Par conséquent, il existe deux entiers relatifs $k_1$ et $k_2$ tels que :

\lambda_1 = i(2k_1 + 1)\pi   \text{et}   \lambda_2 = i(2k_2 + 1)\pi

En particulier, aucune des valeurs propres de $A$ n'est réelle.

Contrainte liée à la réalité de la matrice.

La matrice $A$ est à coefficients réels, donc son polynôme caractéristique $\chi_A$ est dans $\mathbb{R}[X]$ . Ses racines dans $\mathbb{C}$ doivent donc être soit réelles, soit conjuguées deux à deux.

Comme nous avons établi que les racines ne sont pas réelles, elles sont nécessairement conjuguées :

\lambda_2 = \overline{\lambda_1}

En remplaçant par les expressions trouvées précédemment :

i(2k_2 + 1)\pi = -i(2k_1 + 1)\pi

Ce qui équivaut à $2k_2 + 1 = -2k_1 - 1$ , soit $k_1 + k_2 = -1$ . Cette condition est tout à fait réalisable (par exemple avec $k_1 = 0$ et $k_2 = -1$ ).

Construction d'un exemple.

Choisissons $k_1 = 0$ , ce qui donne $\lambda_1 = i\pi$ et $\lambda_2 = -i\pi$ . Le polynôme caractéristique de la matrice recherchée serait alors :

\chi_A(X) = (X - i\pi)(X + i\pi) = X^2 + \pi^2

Considérons la matrice compagne ou la matrice de rotation suivante :

A = \begin{pmatrix} 0 & -\pi \pi & 0 \end{pmatrix}

Calculons $\exp(A)$ . On remarque que $A = \pi J$ avec $J = \begin{pmatrix} 0 & -1 1 & 0 \end{pmatrix}$ . On sait que $J^2 = -I_2$ , $J^3 = -J$ , $J^4 = I_2$ , etc.

Par développement en série entière :

\exp(\theta J) = \left( \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n \theta^{2n}}{(2n)!} \right) I_2 + \left( \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n \theta^{2n+1}}{(2n+1)!} \right) J

On reconnaît les développements de cosinus et sinus :

\exp(\theta J) = \cos(\theta) I_2 + \sin(\theta) J

Pour $\theta = \pi$ , on obtient :

\exp(A) = \exp(\pi J) = \cos(\pi) I_2 + \sin(\pi) J = -1 \cdot I_2 + 0 \cdot J

D'où le résultat :

\boxed{ \exp(A) = -I_2 }

Conclusion.

Il existe bien des matrices répondant à la question.

\boxed{ \text{Oui, par exemple } A = \begin{pmatrix} 0 & -\pi \pi & 0 \end{pmatrix} }

L'erreur classique consiste à affirmer que $\exp(A)$ est toujours une matrice à coefficients positifs ou que ses valeurs propres sont positives. C'est vrai pour les réels ( $\exp(x) > 0$ ), mais faux pour les matrices : l'exponentielle peut même ne pas être une matrice réelle positive au sens des coefficients.