Équations matricielles de type racine carrée

On se propose d'étudier l'existence et le nombre de solutions $X \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ de l'équation $X^2 = A$ pour différentes matrices $A$ .

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ une matrice possédant $n$ valeurs propres distinctes notées $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ . Démontrer que l'équation $X^2 = A$ admet un nombre fini de solutions dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ . Préciser ce nombre en fonction du nombre de valeurs propres non nulles de $A$ .
Déterminer l'ensemble des solutions $X \in \mathcal{M}_3(\mathbb{C})$ de l'équation $X^2 = A$ pour les matrices suivantes : $A_1 = \begin{pmatrix} 3 & 1 & -1 1 & 1 & 1 -2 & 0 & 2 \end{pmatrix} ; A_2 = \begin{pmatrix} 3 & 1 & -1 1 & 1 & 1 2 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ $A_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 1 & 0 & 4 \end{pmatrix} ; A_4 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 0 & 0 & 4 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

1.

Pour la question 1, utiliser le fait que si $X^2 = A$ , alors $X$ et $A$ commutent. En déduire que $X$ et $A$ sont diagonalisables dans la même base.

2.

Pour la question 2, commencer par calculer le polynôme caractéristique et déterminer si la matrice est diagonalisable.

3.

Pour $A_4$ , étudier l'indice de nilpotence de $X$ .

4.

Pour les matrices non diagonalisables ( $A_2$ et $A_3$ ), chercher $X$ sous forme de polynôme en $A$ en utilisant un développement de Taylor formel pour la racine carrée.

Idées clés

•

Lien entre commutant et réduction : si $A$ a $n$ valeurs propres distinctes, son commutant est l'ensemble des polynômes en $A$ .

•

Utilisation de la structure de bloc pour les matrices non diagonalisables.

•

Propriétés de l'indice de nilpotence : si $X^k = 0$ , alors l'indice de nilpotence de $X$ est inférieur ou égal à $n$ .

Résolution.

Cas où $A$ possède $n$ valeurs propres distinctes. Soit $X$ $X$ une solution de $X^2 = A$ $X^{2} = A$ . On remarque immédiatement que $AX = X^2 X = X^3$ $A X = X^{2} X = X^{3}$ et $XA = X X^2 = X^3$ $X A = X X^{2} = X^{3}$ , donc $A$ $A$ et $X$ $X$ commutent. Puisque $A$ $A$ possède $n$ $n$ valeurs propres distinctes, les sous-espaces propres de $A$ $A$ sont des droites vectorielles. Comme $X$ $X$ commute avec $A$ $A$ , $X$ $X$ laisse stable chaque sous-espace propre de $A$ $A$ . Soit $(e_1, \dots, e_n)$ $(e_{1}, \dots, e_{n})$ une base de vecteurs propres de $A$ $A$ associée aux valeurs propres $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ $λ_{1}, \dots, λ_{n}$ . Chaque $e_i$ $e_{i}$ est donc aussi un vecteur propre de $X$ $X$ . On note $\mu_i$ $μ_{i}$ la valeur propre de $X$ $X$ associée à $e_i$ $e_{i}$ . L'équation $X^2 = A$ $X^{2} = A$ se traduit alors par :
$\forall i \in \{1, \dots, n\}, \mu_i^2 = \lambda_i$
- Si $\lambda_i \neq 0$ , l'équation $\mu_i^2 = \lambda_i$ admet exactement deux solutions distinctes dans $\mathbb{C}$ .
- Si $\lambda_i = 0$ , l'équation admet l'unique solution $\mu_i = 0$ .
Soit $p$ $p$ le nombre de valeurs propres non nulles de $A$ $A$ . Chaque choix d'un n-uplet $(\mu_1, \dots, \mu_n)$ $(μ_{1}, \dots, μ_{n})$ définit une unique matrice $X$ $X$ (car $X$ $X$ est déterminée par ses valeurs propres dans la base de diagonalisation de $A$ $A$ ). Le nombre de solutions est donc $2^p$ $2^{p}$ .
$\boxed{\text{Nombre de solutions} = 2^{\text{rg}(A)}}$
(Note : ici le rang est égal au nombre de valeurs propres non nulles car $A$ $A$ est diagonalisable).
Étude des cas particuliers.
Cas de $A_1$ : Le calcul du polynôme caractéristique donne $\chi_{A_1}(x) = -x(x-2)(x-4)$ . Les valeurs propres sont $\{0, 2, 4\}$ . Elles sont distinctes. D'après la question 1, avec $p=2$ valeurs propres non nulles :
$\boxed{\text{L'équation } X^2 = A_1 \text{ possède } 2^2 = 4 \text{ solutions.}}$
Cas de $A_2$ : On trouve $\chi_{A_2}(x) = -(x-2)^3$ . La seule valeur propre est $2$ . On vérifie que $(A_2-2I)^2 \neq 0$ . $A_2$ n'est pas diagonalisable. Si $X^2 = A_2$ , alors $X$ commute avec $A_2$ , donc $X \in \mathbb{C}[A_2]$ car le polynôme minimal de $A_2$ est de degré 3. Posons $A_2 = 2I + N$ avec $N^3=0$ et $N^2 \neq 0$ . On cherche $X$ sous la forme $X = \alpha I + \beta N + \gamma N^2$ . $X^2 = \alpha^2 I + 2\alpha\beta N + (2\alpha\gamma + \beta^2) N^2$ . Par identification avec $2I + N$ : $\alpha^2 = 2 \implies \alpha = \pm \sqrt{2}$ . $2\alpha\beta = 1 \implies \beta = \frac{1}{2\alpha}$ . $2\alpha\gamma + \beta^2 = 0 \implies \gamma = -\frac{\beta^2}{2\alpha} = -\frac{1}{8\alpha^3}$ .
$\boxed{\text{L'équation } X^2 = A_2 \text{ possède } 2 \text{ solutions.}}$
Cas de $A_3$ : On a $\chi_{A_3}(x) = -(x-1)^2(x-4)$ . Les valeurs propres sont 1 (double) et 4 (simple). On vérifie que $\text{dim}(\text{ker}(A_3-I)) = 1$ , donc $A_3$ n'est pas diagonalisable. Par un raisonnement de décomposition en blocs (lemme des noyaux), $X$ doit préserver le sous-espace caractéristique associé à 1 (de dimension 2) et le sous-espace propre associé à 4 (de dimension 1). Sur le bloc de taille 2, on a une structure similaire à $A_2$ (2 choix de racines). Sur le bloc de taille 1, on a $\mu^2=4$ (2 choix).
$\boxed{\text{L'équation } X^2 = A_3 \text{ possède } 2 \times 2 = 4 \text{ solutions.}}$
Cas de $A_4$ : $A_4$ est une matrice triangulaire supérieure stricte, elle est nilpotente. On calcule $A_4^2 \neq 0$ et $A_4^3 = 0$ . L'indice de nilpotence de $A_4$ est 3. Supposons qu'il existe $X$ tel que $X^2 = A_4$ . Alors $X^{2 \times 3} = A_4^3 = 0$ , donc $X$ est nilpotente. Comme $X \in \mathcal{M}_3(\mathbb{C})$ , son indice de nilpotence $k$ vérifie $k \le 3$ , donc $X^3 = 0$ . Mais alors $X^4 = 0$ (car $4 > 3$ ), ce qui implique $A_4^2 = (X^2)^2 = X^4 = 0$ . C'est contradictoire avec $A_4^2 \neq 0$ .
$\boxed{\text{L'équation } X^2 = A_4 \text{ n'admet aucune solution.}}$

Dans le cas où $A$ a des valeurs propres multiples et est diagonalisable, il peut y avoir une infinité de solutions (penser à $X^2 = I_2$ ). L'hypothèse "valeurs propres distinctes" est cruciale pour le nombre fini.