Racine carrée de matrices inversibles

On se place dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ où $\mathbb{K}$ est un corps de caractéristique nulle (typiquement $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ ).

Soit $N \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ une matrice nilpotente et $P \in \mathbb{K}[X]$ un polynôme de valuation 1 (c'est-à-dire $P(0) = 0$ et $P'(0) \neq 0$ ). Montrer qu'il existe une matrice nilpotente $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ telle que $P(M) = N$ . On cherchera $M$ sous la forme d'un polynôme en $N$ .
En déduire que toute matrice $A \in GL_n(\mathbb{C})$ possède au moins une racine carrée, c'est-à-dire une matrice $R \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ telle que $R^2 = A$ .

1.

Pour la question 1, écrire $M = \sum_{k=1}^{n-1} b_k N^k$ et identifier les puissances de $N$ dans l'équation $P(M)=N$ . On pourra procéder par récurrence sur l'indice des coefficients.

2.

Pour la question 2, utiliser la décomposition en sous-espaces caractéristiques (lemme des noyaux appliqué au polynôme caractéristique scindé sur $\mathbb{C}$ ) pour se ramener à l'étude de blocs de la forme $\lambda I + N$ avec $\lambda \neq 0$ .

3.

Pour extraire une racine de $I + N'$ , on pourra chercher $M$ tel que $(I+M)^2 = I+N'$ , ce qui revient à résoudre $P(M) = N'$ avec $P(X) = 2X + X^2$ .

Idées clés

•

Inversion locale formelle pour les matrices nilpotentes.

•

Décomposition d'un endomorphisme en somme de composantes sur ses sous-espaces caractéristiques.

•

Utilisation du fait que tout polynôme à coefficients complexes est scindé.

1. Construction de la matrice $M$ pour un polynôme de valuation 1.

Soit $P(X) = \sum_{i=1}^d a_i X^i$ avec $a_1 \neq 0$ puisque la valuation de $P$ est 1.

On cherche $M$ sous la forme $M = \sum_{k=1}^{n-1} b_k N^k$ . Puisque $N$ est nilpotente, $M$ l'est aussi (car c'est un polynôme en $N$ sans terme constant).

L'équation $P(M) = N$ s'écrit :

\sum_{i=1}^d a_i \left( \sum_{k=1}^{n-1} b_k N^k \right)^i = N

Comme $N^n = 0$ , on peut travailler dans l'algèbre $\mathbb{K}[N]$ , qui est de dimension finie. Identifions les coefficients devant chaque puissance $N^k$ pour $k \in \{1, \dots, n-1\}$ .

Pour $k=1$ : le terme en $N^1$ provient uniquement de $a_1 (b_1 N)$ . On impose : $\boxed{ a_1 b_1 = 1 \iff b_1 = \frac{1}{a_1} }$ Ce qui est possible car $a_1 \neq 0$ .
Pour $k \in \{2, \dots, n-1\}$ : le terme en $N^k$ dans le développement de $P(M)$ est de la forme : $a_1 b_k + \Phi_k(a_1, \dots, a_k, b_1, \dots, b_{k-1})$ où $\Phi_k$ est une expression polynomiale ne dépendant que des coefficients déjà calculés.

On peut donc déterminer les $b_k$ par récurrence :

\boxed{ b_k = - \frac{1}{a_1} \Phi_k(a_1, \dots, a_k, b_1, \dots, b_{k-1}) }

Il existe donc bien une matrice $M \in \mathbb{K}[N]$ telle que $P(M) = N$ .

2. Existence d'une racine carrée pour une matrice inversible.

Soit $A \in GL_n(\mathbb{C})$ . Le polynôme caractéristique $\chi_A$ est scindé sur $\mathbb{C}$ . D'après le théorème de décomposition en sous-espaces caractéristiques, $A$ est semblable à une matrice diagonale par blocs :

A \sim \text{diag}(A_1, A_2, \dots, A_p)

Chaque bloc $A_j$ correspond à la restriction de $A$ à l'espace $\ker(A - \lambda_j I)^{m_j}$ . On peut écrire chaque bloc sous la forme :

A_j = \lambda_j I + N_j

où

N_j

est une matrice nilpotente. Comme

A

est inversible, ses valeurs propres

\lambda_j

sont toutes non nulles.

Cherchons une racine carrée pour chaque bloc $A_j$ . On peut factoriser par $\lambda_j$ :

A_j = \lambda_j \left( I + \frac{1}{\lambda_j} N_j \right) = \lambda_j (I + N'_j)

où

N'_j = \frac{1}{\lambda_j} N_j

est encore nilpotente. Soit

\mu_j

une racine carrée complexe de

\lambda_j

(elle existe dans

\mathbb{C}

).

Il suffit de trouver une matrice $M_j$ telle que $(I+M_j)^2 = I + N'_j$ . Cette équation est équivalente à :

I + 2M_j + M_j^2 = I + N'_j \iff 2M_j + M_j^2 = N'_j

Posons $Q(X) = 2X + X^2$ . Ce polynôme est de valuation 1 car $Q(0)=0$ et $Q'(0)=2 \neq 0$ . D'après la question 1., il existe une matrice nilpotente $M_j$ telle que :

\boxed{ Q(M_j) = N'_j \implies (I+M_j)^2 = I + N'_j }

Finalement, la matrice $R_j = \mu_j(I + M_j)$ est une racine carrée de $A_j$ . En recollant les blocs, on construit une racine carrée $R$ pour $A$ :

\boxed{ R \sim \text{diag}(R_1, \dots, R_p) }

Attention : ce raisonnement ne s'applique pas si $A$ n'est pas inversible. Par exemple, la matrice $N = \begin{pmatrix} 0 & 1 0 & 0 \end{pmatrix}$ n'admet pas de racine carrée dans $\mathcal{M}_2(\mathbb{C})$ . En effet, si $R^2 = N$ , alors $R^4 = 0$ , donc $R$ est nilpotente. Pour une matrice $2 \times 2$ , cela impliquerait $R^2 = 0$ , soit $N=0$ , ce qui est absurde.