Obstruction à l'existence d'une racine carrée

On considère la matrice $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 -1 & 3 & -3 -2 & 2 & -2 \end{pmatrix}$ .

Calculer le polynôme caractéristique de $A$ . $A$ est-elle diagonalisable ?
Montrer qu'il existe une base de $\mathbb{R}^3$ dans laquelle la matrice de l'endomorphisme associé à $A$ est : $T = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$
On suppose qu'il existe $M \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ $M \in M_{3} (R)$ telle que $M^2 = A$ $M^{2} = A$ .
1. Montrer que $M$ commute avec $A$ .
2. En déduire que $M$ laisse stable les sous-espaces $N_1 = \ker(A^2)$ et $N_2 = \ker(A-2I)$ .
3. Soit $M_1$ l'endomorphisme induit par $M$ sur $N_1$ . Montrer que $M_1^2 = A_{|N_1}$ .
4. En calculant le carré d'une matrice nilpotente de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ , aboutir à une contradiction.
Conclure sur l'ensemble des solutions de l'équation $M^2 = A$ .

1.

Pour la question 2, chercher un vecteur $v_2$ tel que $Av_2 = v_1$ avec $Av_1 = 0$ .

2.

Pour la question 3.(d), se rappeler que si $N \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ est nilpotente, alors $N^2 = 0$ .

Idées clés

•

Utilisation des noyaux itérés pour les matrices non diagonalisables.

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Stabilité des sous-espaces caractéristiques par le commutant.

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Propriété des matrices nilpotentes en dimension 2.

Résolution.

Après calcul, on trouve $\chi_A(X) = -X^2(X-2)$ . Les valeurs propres sont $0$ (double) et $2$ (simple). On calcule $\ker(A) = \text{vect}((1, 1, 2))$ . Comme $\dim \ker(A) = 1 < 2$ , $A$ n'est pas diagonalisable.
Posons $v_3 = (0, 1, 1)$ tel que $Av_3 = 2v_3$ . Cherchons $v_1, v_2$ tels que $Av_1=0$ et $Av_2=v_1$ . On prend $v_1 = (1, 1, 2)$ . La résolution de $Av_2=v_1$ donne par exemple $v_2 = (1, 1, 1)$ . La famille $(v_1, v_2, v_3)$ est une base et la matrice de $A$ y est bien $T$ .
1. Comme $M^2=A$ , alors $MA = M(M^2) = M^3 = (M^2)M = AM$ .
2. Puisque $M$ et $A$ commutent, $M$ laisse stable le noyau de tout polynôme en $A$ . C'est le cas pour $N_1 = \ker(A^2)$ et $N_2 = \ker(A-2I)$ .
3. Par restriction de la relation $M^2=A$ au sous-espace stable $N_1$ , on a immédiatement $M_1^2 = A_{|N_1}$ .
4. Dans la base $(v_1, v_2)$ de $N_1$ , la matrice de $A_{|N_1}$ est $N = \begin{pmatrix} 0 & 1 0 & 0 \end{pmatrix}$ . Soit $M_1$ la matrice de la restriction de $M$ à $N_1$ . On doit avoir $M_1^2 = N$ . Comme $N^2 = 0$ , on a $M_1^4 = 0$ , donc $M_1$ est nilpotente. Or, en dimension 2, si $M_1$ est nilpotente, son indice de nilpotence est au plus 2. On a donc $M_1^2 = 0$ . Ceci implique $N = 0$ , ce qui est faux. $\boxed{\text{Contradiction}}$
L'équation $M^2 = A$ ne possède aucune solution. $\boxed{\mathcal{S} = \emptyset}$

L'erreur classique est de penser qu'une matrice ayant des valeurs propres positives ou nulles possède toujours une racine carrée. Le cas non diagonalisable montre que la structure des blocs de Jordan (ou ici des noyaux itérés) peut empêcher l'existence d'une racine.