Calcul de racines carrées matricielles

Résolution.

1. Recherche des éléments propres. Calculons le polynôme caractéristique de $A$ :
   $$\chi_A(X) = \det(XI - A) = \begin{vmatrix} X-5 & 4 & -1$$
   -8 & X+7 & -2
   -12 & 12 & X-4 \end{vmatrix}
   En effectuant $C_1 \leftarrow C_1 + C_2$, on fait apparaître un facteur commun :
   $$\chi_A(X) = \begin{vmatrix} X-1 & 4 & -1$$
   X-1 & X+7 & -2
   0 & 12 & X-4 \end{vmatrix} = (X-1) \begin{vmatrix} 1 & 4 & -1
   1 & X+7 & -2
   0 & 12 & X-4 \end{vmatrix}
   Puis $L_2 \leftarrow L_2 - L_1$ :
   $$\chi_A(X) = (X-1) \begin{vmatrix} 1 & 4 & -1$$
   0 & X+3 & -1
   0 & 12 & X-4 \end{vmatrix} = (X-1) [ (X+3)(X-4) + 12 ]
   $$\chi_A(X) = (X-1) (X^2 - X - 12 + 12) = X(X-1)^2$$
   Les valeurs propres sont $\lambda_1 = 0$ (simple) et $\lambda_2 = 1$ (double). Cherchons le sous-espace propre $E_1 = \ker(A - I)$ :
   $$(x,y,z) \in E_1 \iff 4x - 4y + z = 0$$
   C'est un plan vectoriel ($\dim E_1 = 2$). Comme la dimension de chaque sous-espace propre est égale à la multiplicité de la valeur propre correspondante, la matrice $A$ est diagonalisable.
   $$\boxed{\text{Sp}(A) = \{0, 1\} \text{ et } A \text{ est diagonalisable.}}$$

2. Diagonalisation explicite. Pour $E_1$, on choisit deux vecteurs non colinéaires vérifiant $4x - 4y + z = 0$ : $v_2 = \begin{pmatrix} 1$
   1
   0 \end{pmatrix} et $v_3 = \begin{pmatrix} 0$
   1
   4 \end{pmatrix}. Pour $E_0 = \ker(A)$, on résout le système : $\begin{cases} 5x - 4y + z = 0$
   8x - 7y + 2z = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} z = 4y - 5x
   8x - 7y + 2(4y - 5x) = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} z = 4y - 5x
   -2x + y = 0 \end{cases} Soit $y=2x$ et $z=3x$. On prend $v_1 = \begin{pmatrix} 1$
   2
   3 \end{pmatrix}. On pose alors :
   $$P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0$$
   2 & 0 & 1
   3 & -4 & 4 \end{pmatrix}   \text{et}   D = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0
   0 & 1 & 0
   0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

3. Recherche d'une racine carrée $B$.
   1. On cherche $B$ sous la forme $B = PMP^{-1}$ avec $M^2 = D$. La matrice $M$ doit être de la forme $\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0$
      0 & a & b
      0 & c & d \end{pmatrix} avec $\begin{pmatrix} a & b$
      c & d \end{pmatrix}^2 = I_2. Au lieu de prendre une matrice diagonale pour $M$ (ce qui donnerait $B=A$ ou $B=-A$), on peut choisir une matrice de symétrie non diagonale, par exemple :
      $$M = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0$$
      0 & 0 & 1
      0 & 1 & 0 \end{pmatrix}
      On vérifie bien que $M^2 = \text{diag}(0, 1, 1) = D$. Calculons $P^{-1}$. Par la méthode de la co-matrice ou du pivot de Gauss, on trouve $\det(P) = -1$ et :
      $$P^{-1} = \begin{pmatrix} -4 & 4 & -1$$
      5 & -4 & 1
      8 & -7 & 2 \end{pmatrix}
      On calcule ensuite $B = PM P^{-1}$ :
      $$PM = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0$$
      2 & 0 & 1
      3 & -4 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0
      0 & 0 & 1
      0 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1
      0 & 1 & 0
      0 & 4 & -4 \end{pmatrix}
      D'où :
      $$B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1$$
      0 & 1 & 0
      0 & 4 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -4 & 4 & -1
      5 & -4 & 1
      8 & -7 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & -7 & 2
      5 & -4 & 1
      -12 & 12 & -4 \end{pmatrix}
      $$\boxed{B = \begin{pmatrix} 8 & -7 & 2$$
      5 & -4 & 1
      -12 & 12 & -4 \end{pmatrix}}

   2. Vérification. Calculons $B^2$ :
      $$B^2 = \begin{pmatrix} 8 & -7 & 2$$
      5 & -4 & 1
      -12 & 12 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 8 & -7 & 2
      5 & -4 & 1
      -12 & 12 & -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 64-35-24 & -56+28+24 & 16-7-8
      40-20-12 & -35+16+12 & 10-4-4
      -96+60+48 & 84-48-48 & -24+12+16 \end{pmatrix}
      $$B^2 = \begin{pmatrix} 5 & -4 & 1$$
      8 & -7 & 2
      12 & -12 & 4 \end{pmatrix} = A
      Le résultat est correct et $B \neq \pm A$.