Racines carrées d'une matrice unipotente

Déterminer l'ensemble des matrices $B \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$ vérifiant l'équation :

B^{2} = A   \text{où}   A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 0 & 1 & 3 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

1.

Commencer par étudier les valeurs propres possibles pour une solution $B$ en utilisant le spectre de $A$ .

2.

Justifier que toute solution $B$ doit commuter avec $A$ .

3.

Montrer que la matrice $N = A - I$ est nilpotente d'indice 3. En déduire que $A$ est une matrice cyclique.

4.

Utiliser la structure du commutant d'une matrice cyclique pour chercher $B$ sous la forme d'un polynôme en $N$ .

5.

On pourra également s'inspirer du développement limité de $(1+x)^{1/2}$ au voisinage de 0.

Idées clés

•

Spectre d'une puissance de matrice : $\text{Sp}(B^2) = \{ \lambda^2, \lambda \in \text{Sp}(B) \}$ .

•

Commutant et matrices cycliques : Si le polynôme minimal de $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ est de degré $n$ , alors son commutant est $C(A) = \mathbb{K}[A]$ .

•

Développement en série entière de la racine carrée pour les matrices nilpotentes.

Analyse des propriétés de $B$ .

Soit $B$ une solution. Puisque $B^2 = A$ , $B$ commute avec $A$ car : $AB = B^2 B = B^3 = B B^2 = BA$
Notons $N = A - I = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 4 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ . Calculons les puissances de $N$ : $N^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 6 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \text{et} N^3 = 0$ La matrice $N$ est nilpotente d'indice 3. Ainsi, le polynôme $(X-1)^3$ annule $A$ . Comme ce polynôme est de degré 3 (la taille de la matrice) et que $(A-I)^2 \neq 0$ , c'est le polynôme minimal de $A$ .
Structure de $B$ . Puisque le degré du polynôme minimal de $A$ est égal à la dimension de l'espace, $A$ est une matrice cyclique. Son commutant est donc réduit à l'ensemble des polynômes en $A$ : $C(A) = \mathbb{R}[A] = \text{Vect}(I, A, A^2) = \text{Vect}(I, N, N^2)$ Toute solution $B$ est donc de la forme : $\boxed{B = aI + bN + cN^2}$ avec $(a, b, c) \in \mathbb{R}^3$ .

Résolution de l'équation.

Exprimons $B^2$ en fonction de $a, b, c$ en utilisant $N^3 = 0$ : $B^2 = (aI + bN + cN^2)^2 = a^2 I + 2ab N + (b^2 + 2ac) N^2$
L'équation $B^2 = A$ devient, par identification sur la base $(I, N, N^2)$ : $\begin{cases} a^2 = 1 2ab = 1 b^2 + 2ac = 0 \end{cases}$
Premier cas : $a = 1$ .
- $2b = 1 \implies b = \frac{1}{2}$
- $\frac{1}{4} + 2c = 0 \implies c = -\frac{1}{8}$
La première solution est $B_1 = I + \frac{1}{2}N - \frac{1}{8}N^2$ $B_{1} = I + \frac{1}{2} N - \frac{1}{8} N^{2}$ . Calculons explicitement ses coefficients :
$B_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 0 & 0 & 3/2 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & 0 & 3/4 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 5/4 0 & 1 & 3/2 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
Deuxième cas : $a = -1$ .
- $-2b = 1 \implies b = -\frac{1}{2}$
- $\frac{1}{4} - 2c = 0 \implies c = \frac{1}{8}$
La seconde solution est $B_2 = -I - \frac{1}{2}N + \frac{1}{8}N^2 = -B_1$ $B_{2} = - I - \frac{1}{2} N + \frac{1}{8} N^{2} = - B_{1}$ .
$B_2 = \begin{pmatrix} -1 & -1 & -5/4 0 & -1 & -3/2 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

Conclusion.

L'ensemble des solutions est constitué des deux matrices suivantes :

\boxed{ \mathcal{S} = \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 5/4 0 & 1 & 3/2 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 & -1 & -5/4 0 & -1 & -3/2 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \right\} }

Une erreur fréquente est de supposer immédiatement que $B$ est triangulaire supérieure. Bien que ce soit vrai ici, cela nécessite une justification rigoureuse (par exemple via le commutant d'une matrice cyclique ou l'étude des sous-espaces stables). Un autre oubli classique est la solution $-B$ .