Recherche de racines carrées matricielles

On considère la matrice $A \in \mathrm{M}_{3}(\mathbb{R})$ définie par :

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 -1 & 3 & -3 -2 & 2 & -2 \end{pmatrix}

Établir l'existence d'une matrice inversible $P \in \mathrm{GL}_{3}(\mathbb{R})$ telle que : $A = P \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 1 & 0 & 0 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} P^{-1}$
On s'intéresse à l'équation $M^{2} = A$ $M^{2} = A$ d'inconnue $M \in \mathrm{M}_{3}(\mathbb{R})$ $M \in M_{3} (R)$ .
1. Montrer que si $M$ est une solution, alors $M$ commute avec $A$ .
2. En déduire que toute solution $M$ préserve les sous-espaces $\ker(A^2)$ et $\ker(A-2I_3)$ .
3. Déterminer l'ensemble des matrices $M \in \mathrm{M}_{3}(\mathbb{R})$ vérifiant $M^{2} = A$ .

1.

Pour la réduction, calculer le polynôme caractéristique $\chi_A$ et déterminer les dimensions des noyaux itérés. Chercher un vecteur $u$ tel que $Au \neq 0$ et $A^2 u = 0$ .

2.

Si $M^2 = A$ , alors $M$ commute avec $A$ , donc il stabilise les sous-espaces caractéristiques de $A$ .

3.

Étudier la restriction de l'endomorphisme associé à $M$ au plan $\ker(A^2)$ . Utiliser le fait qu'un endomorphisme nilpotent d'un espace de dimension $n$ a un indice de nilpotence au plus $n$ .

Idées clés

•

Décomposition de Dunford/Jordan (sous forme réduite de blocs).

•

Stabilité des sous-espaces propres et caractéristiques par un endomorphisme qui commute.

•

Propriétés des endomorphismes nilpotents en dimension finie.

Résolution.

Calculons le polynôme caractéristique de $A$ , noté $\chi_A(X) = \det(XI_3 - A)$ . Par un calcul direct ou des opérations sur les colonnes ( $C_2 \leftarrow C_2 + C_3$ ), on obtient : $\chi_A(X) = X^2 (X-2)$
L'unique valeur propre non nulle est $\lambda = 2$ . Cherchons le sous-espace propre associé :
$(A - 2I_3) \begin{pmatrix} x y z \end{pmatrix} = 0 \iff \begin{pmatrix} -1 & 1 & -1 -1 & 1 & -3 -2 & 2 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x y z \end{pmatrix} = 0$ En soustrayant les deux premières lignes, on trouve $-2z = 0$ , donc $z=0$ . Puis $-x+y=0$ . On en déduit que $E_2(A) = \mathrm{Vect}(v_3)$ avec $\boxed{v_3 = (1, 1, 0)^T}$ .
Concernant la valeur propre $0$ , calculons $A^2$ :
$A^2 = \begin{pmatrix} 2 & 2 & -2 2 & 2 & -2 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ Le rang de $A^2$ est $1$ , donc par le théorème du rang, $\dim \ker(A^2) = 2$ . Comme $A \neq 0$ sur $\ker(A^2)$ (car $A v_3 = 2 v_3$ n'est pas la seule info, on voit que $A$ n'est pas nulle sur le noyau de $A^2$ ), l'indice de nilpotence de la partie nilpotente est $2$ . Choisissons $u$ tel que $A^2 u = 0$ et $A u \neq 0$ . Soit $v_2 = (1, 0, 1)^T$ . On vérifie que $A^2 v_2 = (2-2, 2-2, 0)^T = 0$ . Posons $v_1 = A v_2 = (1-1, -1-3, -2-2)^T = (0, -4, -4)^T$ . On a $A v_1 = A^2 v_2 = 0$ .
Dans la base $\mathcal{B} = (v_1, v_2, v_3)$ , l'endomorphisme $f$ associé à $A$ a pour matrice :
$\boxed{ J = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} }$ La matrice $P$ est la matrice de passage de la base canonique à $\mathcal{B}$ . Note : Le résultat demandé par l'énoncé source présente le bloc nilpotent sous la forme $\begin{pmatrix$ 0 & 0 1 & 0 \end{pmatrix} $(0100)$ . Il suffit d'échanger $v_1$ et $v_2$ dans la base pour l'obtenir.}
1. Supposons qu'il existe $M$ telle que $M^2 = A$ . Alors : $MA = M(M^2) = M^3 \text{et} AM = (M^2)M = M^3$ On a bien $\boxed{MA = AM}$ .
2. Puisque $M$ et $A$ commutent, $M$ commute avec toute puissance de $A$ et tout polynôme en $A$ . Soit $P(A)$ un tel polynôme. Si $X \in \ker(P(A))$ , alors $P(A)MX = MP(A)X = 0$ , donc $MX \in \ker(P(A))$ . Ainsi, $M$ stabilise les noyaux $\ker(A^2)$ et $\ker(A-2I_3)$ .
3. Notons $E_1 = \ker(A^2)$ et $E_2 = \ker(A-2I_3)$ . On a $\mathbb{R}^3 = E_1 \oplus E_2$ . Soit $M$ une solution. D'après la question précédente, $M$ induit un endomorphisme $M_1$ sur $E_1$ (de dimension 2). La restriction de $A$ à $E_1$ , notée $A_1$ , est un endomorphisme nilpotent d'indice 2. L'équation $M^2 = A$ implique, par restriction à $E_1$ : $M_1^2 = A_1$ En élevant au carré, on obtient $M_1^4 = A_1^2 = 0$ . Ceci montre que $M_1$ est un endomorphisme nilpotent de $E_1$ . Or, en dimension 2, le théorème de Cayley-Hamilton (ou la propriété des indices de nilpotence) assure que si $M_1$ est nilpotent, alors $\boxed{M_1^2 = 0}$ . Ceci mène à une contradiction car $M_1^2 = A_1$ et $A_1 \neq 0$ .
  Par conséquent, il n'existe aucune matrice $M$ telle que $M^2 = A$ . L'ensemble des solutions est $\boxed{\emptyset}$ .

Une erreur fréquente est de penser que puisque $0$ est valeur propre double, toute racine carrée doit avoir $0$ comme valeur propre, sans explorer la structure de bloc nilpotent. Il est crucial d'utiliser la restriction aux sous-espaces stables.