Équation polynomiale et trace rationnelle

On considère un entier $n \geq 1$ . L'objectif est de déterminer l'ensemble des entiers $n$ pour lesquels il existe un endomorphisme $f \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n)$ satisfaisant les deux conditions suivantes :

$f^3 + f^2 - \mathrm{id}_{\mathbb{R}^n} = 0$
$\operatorname{Tr}(f) \in \mathbb{Q}$

1.

Étudier les racines du polynôme $P(X) = X^3 + X^2 - 1$ dans $\mathbb{C}$ .

2.

Justifier que $P$ n'admet aucune racine rationnelle et en déduire son irréductibilité sur $\mathbb{Q}$ .

3.

Exprimer la trace de $f$ en fonction des multiplicités des racines de $P$ dans le polynôme caractéristique de $f$ .

4.

Utiliser le fait que $f$ est un endomorphisme d'un espace vectoriel réel pour lier les multiplicités des racines complexes conjuguées.

Idées clés

•

Lien entre racines du polynôme annulateur et spectre de l'endomorphisme.

•

Utilisation de la trace comme somme des valeurs propres comptées avec multiplicité.

•

Propriétés des polynômes à coefficients réels (racines complexes conjuguées).

•

Argument d'irrégularité (si $\alpha \notin \mathbb{Q}$ , alors $a\alpha + b \in \mathbb{Q} \implies a=0$ ).

1. Étude du polynôme annulateur.

Soit $P(X) = X^3 + X^2 - 1$ . L'énoncé nous donne $P(f) = 0$ . Le spectre de $f$ , noté $\mathrm{Sp}_{\mathbb{C}}(f)$ , est donc inclus dans l'ensemble des racines de $P$ dans $\mathbb{C}$ .

Étudions les variations de la fonction réelle $x \mapsto P(x)$ :

P'(x) = 3x^2 + 2x = x(3x+2)

Le tableau de variations montre que $P$ croît sur $]-\infty, -2/3]$ , décroît sur $[-2/3, 0]$ et croît sur $[0, +\infty[$ . On calcule les valeurs remarquables :

P(-2/3) = -\frac{23}{27} < 0   \text{et}   P(0) = -1 < 0

Comme $P(1) = 1$ , par le théorème des valeurs intermédiaires, $P$ possède une unique racine réelle $\alpha \in ]0, 1[$ . Les deux autres racines sont complexes conjuguées, notons-les $z$ et $\bar{z}$ .

2. Caractère rationnel des racines.

Cherchons si $P$ admet une racine rationnelle $p/q$ avec $p \wedge q = 1$ . Si $P(p/q) = 0$ , alors $p^3 + p^2 q - q^3 = 0$ . Cela implique que $p$ divise $q^3$ (donc $p=1$ ou $p=-1$ ) et $q$ divise $p^3$ (donc $q=1$ ). Les seules racines rationnelles possibles sont $1$ et $-1$ . Or :

P(1) = 1 \neq 0   \text{et}   P(-1) = -1 \neq 0

Par conséquent, $P$ n'a pas de racine rationnelle. Comme $P$ est de degré 3, cela prouve que $P$ est irréductible sur $\mathbb{Q}$ .

\boxed{\alpha \notin \mathbb{Q}}

3. Analyse de la trace.

Soit $\chi_f$ le polynôme caractéristique de $f$ . Comme $f \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n)$ , $\chi_f \in \mathbb{R}[X]$ . Le polynôme $P$ est un polynôme annulateur, donc $\chi_f$ est de la forme :

\chi_f(X) = (X-\alpha)^a (X-z)^b (X-\bar{z})^c

Puisque $\chi_f \in \mathbb{R}[X]$ , les multiplicités des racines complexes conjuguées doivent être égales : $b = c$ . La dimension de l'espace nous donne :

\boxed{n = a + 2b}

La trace est la somme des racines (complexes) de $\chi_f$ comptées avec multiplicité :

\operatorname{Tr}(f) = a\alpha + bz + b\bar{z} = a\alpha + b(z + \bar{z})

D'après les relations entre racines et coefficients de $P(X) = X^3 + X^2 + 0X - 1$ , on a :

\alpha + z + \bar{z} = -1 \implies z + \bar{z} = -1 - \alpha

En substituant, on obtient :

\operatorname{Tr}(f) = a\alpha + b(-1 - \alpha) = (a - b)\alpha - b

4. Conclusion sur $n$ .

On impose $\operatorname{Tr}(f) \in \mathbb{Q}$ . Puisque $b \in \mathbb{Q}$ et $\alpha \notin \mathbb{Q}$ , la relation :

(a - b)\alpha = \operatorname{Tr}(f) + b \in \mathbb{Q}

n'est possible que si le coefficient devant

\alpha

est nul. On en déduit :

\boxed{a = b}

Dès lors, la relation $n = a + 2b$ devient $n = b + 2b = 3b$ . L'entier $n$ doit donc être un multiple de 3.

5. Synthèse (Réciproque).

Si $n = 3k$ avec $k \in \mathbb{N}^*$ , on peut considérer la matrice compagnon $C(P) \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ associée au polynôme $P$ . On définit $f$ par une matrice diagonale par blocs composée de $k$ blocs $C(P)$ . Le polynôme $P$ annule chaque bloc, donc $P(f) = 0$ . La trace est :

\operatorname{Tr}(f) = k \cdot \operatorname{Tr}(C(P)) = k \cdot (-1) = -k \in \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}

L'existence est donc assurée si et seulement si $n$ est divisible par 3.

\boxed{n \in 3\mathbb{N}^*}

Ne pas oublier que $f$ est un endomorphisme réel. Si $f$ était complexe, les multiplicités de $z$ et $\bar{z}$ pourraient être différentes, et la condition sur $n$ changerait.