Racines n-ièmes d'une matrice trigonalisable

On considère la matrice $A \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$ définie par :

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 0 & 1 & 0 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}

Justifier que $A$ n'est pas diagonalisable dans $\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$ , puis déterminer une matrice $T$ triangulaire supérieure et une matrice $P$ inversible telles que $A = PTP^{-1}$ .
On se propose de résoudre l'équation $X^{n} = A$ $X^{n} = A$ , où $n \in \mathbb{N}^{*}$ $n \in N^{*}$ et $X \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$ $X \in M_{3} (R)$ .
1. Montrer que si $X$ est une solution, alors $X$ commute avec $A$ . En déduire la forme de la matrice $Y = P^{-1}XP$ .
2. Résoudre l'équation selon la parité de $n$ .

1.

Pour la trigonalisation, calculer le polynôme caractéristique et déterminer les dimensions des sous-espaces propres. Pour le vecteur complétant la base, chercher $v_3$ tel que $(A-I)v_3$ appartienne au premier sous-espace propre.

2.

Utiliser le fait que $X$ et $A$ commutent pour montrer que $Y$ commute avec $T$ . La structure de $T$ (blocs ou coefficients) impose alors de fortes contraintes sur les coefficients de $Y$ .

3.

Ne pas oublier qu'en dimension 3 sur $\mathbb{R}$ , l'équation $x^n = -1$ possède une unique solution si $n$ est impair, et aucune si $n$ est pair.

Idées clés

•

Étude du polynôme caractéristique et des dimensions des sous-espaces propres.

•

Utilisation du commutant pour réduire le nombre d'inconnues dans une équation matricielle.

•

Analyse de la bijectivité de la fonction puissance sur $\mathbb{R}$ selon la parité.

1. Trigonalisation de la matrice $A$ .

Calculons le polynôme caractéristique $\chi_A(x) = \det(x I_3 - A)$ :

\chi_A(x) = \begin{vmatrix} x & -1 & -1 0 & x-1 & 0 -1 & -1 & x \end{vmatrix}

En développant par rapport à la deuxième ligne :

\chi_A(x) = (x-1) \begin{vmatrix} x & -1 -1 & x \end{vmatrix} = (x-1)(x^2 - 1) = (x-1)^2(x+1)

Les valeurs propres sont $\lambda = 1$ (multiplicité 2) et $\mu = -1$ (multiplicité 1).

Déterminons les sous-espaces propres associés :

Pour $\mu = -1$ : $E_{-1} = \ker(A + I_3)$ . Un calcul direct montre que $E_{-1} = \text{Vect}(v_2)$ avec $v_2 = \begin{pmatrix} 1 0 -1 \end{pmatrix}$ .
Pour $\lambda = 1$ : $E_{1} = \ker(A - I_3)$ . On résout le système associé et on trouve $E_{1} = \text{Vect}(v_1)$ avec $v_1 = \begin{pmatrix} 1 0 1 \end{pmatrix}$ .

Comme $\dim(E_1) = 1 < 2$ , la matrice $A$ n'est pas diagonalisable. Cherchons un vecteur $v_3$ tel que $Av_3 = v_1 + v_3$ , soit $(A-I_3)v_3 = v_1$ . En posant $v_3 = \begin{pmatrix} x y z \end{pmatrix}$ , on obtient le système :

\left\{ \begin{matrix} -x + y + z = 1 0 = 0 x + y - z = 1 \end{matrix} \right.

En sommant les deux lignes extrêmes, $2y = 2$ donc $y=1$ , puis $x=z$ . Le vecteur $v_3 = \begin{pmatrix} 0 1 0 \end{pmatrix}$ convient. Dans la base $(v_1, v_3, v_2)$ , l'endomorphisme canoniquement associé à $A$ a pour matrice :

\boxed{ T = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} }   \text{avec}   \boxed{ P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} }

L'inverse de $P$ se calcule par pivot de Gauss ou par la formule de la transposée de la comatrice :

\boxed{ P^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 0 & 2 & 0 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} }

2. Résolution de $X^n = A$ .

Soit $X$ une solution. Comme $A$ est une puissance de $X$ , on a $AX = X^n \cdot X = X^{n+1} = X \cdot X^n = XA$ . Ainsi, $X$ et $A$ commutent.
Par conséquent, $Y = P^{-1}XP$ commute avec $T = P^{-1}AP$ . Posons $Y = \begin{pmatrix} a & b & c d & e & f g & h & i \end{pmatrix}$ . La condition $YT = TY$ s'écrit :
$\begin{pmatrix} a & a+b & -c d & d+e & -f g & g+h & -i \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+d & b+e & c+f d & e & f -g & -h & -i \end{pmatrix}$
L'égalité des coefficients entraîne successivement : $d=0$ , $a=e$ , $f=0$ , $c=0$ , $g=0$ , $h=0$ . Ainsi, $Y$ est de la forme :
$Y = \begin{pmatrix} a & b & 0 0 & a & 0 0 & 0 & i \end{pmatrix}$
L'équation $X^n = A$ équivaut à $Y^n = T$ . Un calcul par récurrence immédiat donne : $Y^n = \begin{pmatrix} a^n & na^{n-1}b & 0 0 & a^n & 0 0 & 0 & i^n \end{pmatrix}$
On identifie avec $T$ :
$\left\{ \begin{matrix} a^n = 1 na^{n-1}b = 1 i^n = -1 \end{matrix} \right.$
Premier cas : $n$ est pair. L'équation $i^n = -1$ n'a aucune solution réelle car $i^n \geq 0$ pour tout $i \in \mathbb{R}$ . L'ensemble des solutions est vide.
Second cas : $n$ est impair. Dans $\mathbb{R}$ , l'équation $a^n=1$ admet pour unique solution $a=1$ . L'équation $i^n=-1$ admet pour unique solution $i=-1$ . La deuxième équation devient $n(1)^{n-1}b = 1$ , soit $b = \frac{1}{n}$ .
Il existe donc une unique matrice $Y$ :
$Y = \begin{pmatrix} 1 & 1/n & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$
On remonte à $X$ par le calcul $X = PYP^{-1}$ :
$X = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1/n & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 0 & 2 & 0 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$
Après calculs :
$\boxed{ X = \begin{pmatrix} 0 & 1/n & 1 0 & 1 & 0 1 & 1/n & 0 \end{pmatrix} }$

Ne pas oublier de vérifier la parité de $n$ lors de la résolution sur $\mathbb{R}$ . Si l'énoncé avait demandé les solutions dans $\mathcal{M}_3(\mathbb{C})$ , il y aurait eu plusieurs solutions (racines $n$ -ièmes de l'unité).