Régularité à la borne et séries exponentielles

Résolution.

1. Pour $x \geq 0$, $|u_n(x)| \leq \frac{1}{n^{3/2}}$. La série converge normalement sur $[0, +\infty[$. Les fonctions $u_n$ sont continues en 0, donc $f$ est \boxed{\text{continue sur } [0, +\infty[}.

2. Soit $\tau(x) = \frac{f(x)-f(0)}{x} = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{e^{-x\sqrt{n}}-1}{xn\sqrt{n}}$. Tous les termes sont négatifs. Pour tout $N \in \mathbb{N}^*$ :
   $$\tau(x) \leq \sum_{n=1}^N \frac{e^{-x\sqrt{n}}-1}{xn\sqrt{n}}$$
   En faisant tendre $x \to 0^+$ à $N$ fixé : $\frac{e^{-x\sqrt{n}}-1}{x} \to -\sqrt{n}$. Ainsi $\liminf_{x \to 0^+} \tau(x) \leq -\sum_{n=1}^N \frac{\sqrt{n}}{n\sqrt{n}} = -\sum_{n=1}^N \frac{1}{n} = -H_N$. Comme $H_N \to +\infty$, $\tau(x) \to -\infty$. $f$ \boxed{\text{n'est pas dérivable en 0}}.

3. $u_n'(x) = -\frac{e^{-x\sqrt{n}}}{n}$. Sur $[a, +\infty[$ avec $a > 0$, $|u_n'(x)| \leq \frac{e^{-a\sqrt{n}}}{n}$. La série $\sum \frac{e^{-a\sqrt{n}}}{n}$ converge (négligeable devant toute série de Riemann). Par convergence normale locale de la série des dérivées, $f$ est \boxed{\mathcal{C}^1 \text{ sur } ]0, +\infty[}.