Comportement asymptotique d'une suite à rapport rationnel

Résolution.

1. Recherche d'un équivalent du terme général $u_n$.

   Remarquons d'abord que, puisque $a, b \notin \mathbb{Z}_{\le 0}$, le rapport $\frac{n+a}{n+b}$ est toujours défini et non nul. Par conséquent, tous les termes $u_n$ sont non nuls et de même signe (celui de $u_0$) à partir d'un certain rang. Quitte à considérer la suite $(-u_n)$, on peut supposer $u_n > 0$ pour tout $n$. Par récurrence immédiate, on a pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ :

   $$u_n = u_0 \prod_{k=0}^{n-1} \frac{k+a}{k+b}$$
   En passant au logarithme, il vient :
   $$\ln(u_n) = \ln(u_0) + \sum_{k=0}^{n-1} \left[ \ln(k+a) - \ln(k+b) \right]$$
   Étudions le terme général de la somme pour $k$ au voisinage de $+\infty$ :
   $$\ln(k+a) - \ln(k+b) = \ln\left( k\left(1 + \frac{a}{k}\right) \right) - \ln\left( k\left(1 + \frac{b}{k}\right) \right)$$
   $$\ln(k+a) - \ln(k+b) = \ln\left( 1 + \frac{a}{k} \right) - \ln\left( 1 + \frac{b}{k} \right)$$
   Grâce au développement limité à l'ordre 2 de $\ln(1+x)$ en 0 :
   $$\ln\left( 1 + \frac{a}{k} \right) - \ln\left( 1 + \frac{b}{k} \right) = \left( \frac{a}{k} - \frac{a^2}{2k^2} + o\left(\frac{1}{k^2}\right) \right) - \left( \frac{b}{k} - \frac{b^2}{2k^2} + o\left(\frac{1}{k^2}\right) \right)$$
   $$\ln(k+a) - \ln(k+b) = \frac{a-b}{k} + O\left( \frac{1}{k^2} \right)$$
   En sommant ces relations pour $k$ allant de 1 à $n-1$, et en utilisant le fait que $\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k} = \ln(n) + \gamma + o(1)$ (où $\gamma$ est la constante d'Euler) et que la série des $O(1/k^2)$ converge, on obtient :
   $$\ln(u_n) = \ln(u_0) + \ln(a/b) + (a-b) \ln(n) + C + o(1)$$
   où $C$ est une constante réelle. En passant à l'exponentielle :
   $$u_n = \exp\left( (a-b)\ln(n) + C' + o(1) \right) = K \cdot n^{a-b} \cdot e^{o(1)}$$
   avec $K > 0$. On en déduit l'équivalent suivant :
   $$u_n \underset{n \to +\infty}{\sim} \frac{K}{n^{b-a}}$$
   D'après le critère de comparaison des séries à termes positifs avec les séries de Riemann, la série $\sum u_n$ converge si et seulement si $b-a > 1$.
   $$\boxed{ \text{La série } \sum u_n \text{ converge si et seulement si } b - a > 1 }$$

2. Étude de la limite de $n u_n$.

   Supposons que la condition de convergence soit satisfaite, c'est-à-dire $b-a > 1$. D'après l'équivalent obtenu à la question précédente :

   $$u_n \underset{n \to +\infty}{\sim} \frac{K}{n^{b-a}}$$
   En multipliant par $n$, nous obtenons :
   $$n u_n \underset{n \to +\infty}{\sim} \frac{K}{n^{b-a-1}}$$
   Puisque $b-a > 1$, on a l'inégalité $b-a-1 > 0$. Le terme de droite de l'équivalent tend donc vers 0 lorsque $n \to +\infty$. Par conséquent :
   $$\boxed{ \lim_{n \to +\infty} n u_n = 0 }$$