Continuité d'une série de fonctions alternée

On considère la fonction $f$ définie par la série de fonctions suivante :

f(x) = \sum_{n = 1}^{+\infty} (-1)^{n + 1} \ln\left(1 + \frac{x}{n}\right)

Déterminer l'ensemble de définition de la fonction $f$ , noté $D_f$ .
Étudier la continuité de $f$ sur son domaine de définition.

1.

Pour le domaine de définition, commencez par déterminer la condition d'existence de chaque terme général, puis utilisez un développement limité pour étudier la convergence de la série.

2.

Pour la continuité, la convergence uniforme de la série alternée n'est pas immédiate sur tout le domaine. Essayez de regrouper les termes deux par deux pour obtenir une série de fonctions dont la convergence normale sur tout segment est plus simple à établir.

Idées clés

•

Utilisation du critère spécial des séries alternées et développement limité du terme général.

•

Technique de groupement de termes (paquetage) pour transformer une convergence simple en convergence normale sur les segments.

•

Étude de la monotonie des sommes partielles groupées pour majorer la norme infinie.

1. Détermination du domaine de définition.

Soit $x \in \mathbb{R}$ . Pour que chaque terme $f_n(x) = (-1)^{n+1} \ln(1 + x/n)$ soit défini, il faut que $1 + x/n > 0$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ . Cela impose $x > -n$ pour tout $n \geq 1$ , soit $x > -1$ .

Supposons désormais $x > -1$ . Si $x = 0$ , $f_n(0) = 0$ pour tout $n$ , donc $f(0)$ existe et $f(0) = 0$ .

Si $x \neq 0$ , effectuons un développement limité du terme général au voisinage de l'infini :

f_n(x) = (-1)^{n+1} \left( \frac{x}{n} + O\left(\frac{x^2}{n^2}\right) \right) = \frac{(-1)^{n+1}x}{n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right)

La série $\sum \frac{(-1)^{n+1}x}{n}$ converge d'après le critère spécial des séries alternées (CSSA). La série $\sum O\left(\frac{1}{n^2}\right)$ converge absolument d'après le critère de Riemann.

Par somme de deux séries convergentes, la série définissant $f(x)$ converge pour tout $x > -1$ .

\boxed{ D_f = ]-1, +\infty[ }

2. Étude de la continuité.

La convergence simple ne suffit pas pour conclure à la continuité. Nous allons montrer la convergence normale de la série regroupée sur tout segment $[a, b] \subset D_f$ . Posons, pour $k \geq 1$ , $g_k(x) = f_{2k-1}(x) + f_{2k}(x)$ . On a alors :

g_k(x) = \ln\left(1 + \frac{x}{2k-1}\right) - \ln\left(1 + \frac{x}{2k}\right)

Dérivons $g_k$ sur $D_f$ :

g_k'(x) = \frac{1/(2k-1)}{1 + x/(2k-1)} - \frac{1/2k}{1 + x/2k} = \frac{1}{2k-1+x} - \frac{1}{2k+x}

En réduisant au même dénominateur :

g_k'(x) = \frac{1}{(2k-1+x)(2k+x)}

Puisque $x > -1$ , les facteurs $(2k-1+x)$ et $(2k+x)$ sont strictement positifs pour tout $k \geq 1$ . Ainsi, $g_k'(x) > 0$ , donc $g_k$ est strictement croissante sur $D_f$ .

Soit $[a, b]$ un segment inclus dans $]-1, +\infty[$ . Par croissance de $g_k$ :

\forall x \in [a, b],   |g_k(x)| \leq \max(|g_k(a)|, |g_k(b)|)

Or, par un développement limité à l'ordre 1 en $1/k$ :

g_k(c) = \ln\left(\frac{2k-1+c}{2k-1} \cdot \frac{2k}{2k+c}\right) = \ln\left(1 + \frac{c}{2k(2k-1+c)}\right) \underset{k \to +\infty}{\sim} \frac{c}{4k^2}

Ainsi, $g_k(c) = O(1/k^2)$ . Il en résulte que la série $\sum g_k$ converge normalement sur tout segment $[a, b]$ de $D_f$ .

Comme les fonctions $g_k$ sont continues sur $D_f$ , la somme $f = \sum g_k$ est continue sur tout segment $[a, b]$ , et donc par caractère local :

\boxed{ f \text{ est continue sur } ]-1, +\infty[ }

Vérifier la convergence uniforme avant d'affirmer la continuité.

Le regroupement de termes deux à deux pour les séries alternées permet souvent de prouver la convergence normale.