Le présent document a été conçu comme un outil de travail destiné aux élèves de MP* du Lycée Louis-Le-Grand et du Lycée Henri IV. A noter que vous pouvez retrouver certains documents sur le cahier de prépa du Lycée Henri IV.
Il rassemble, sous forme de rappels brefs et structurés, les résultats, théorèmes, méthodes et énoncés classiques qui apparaissent régulièrement dans les écrits et oraux des concours les plus exigeants.

Ce document a été rédigé par Serge Francinou, professeur de mathématiques en classes préparatoires scientifiques.
Il a enseigné en classe de MPSI (HX3) au lycée Henri-IV (site historique), puis de nombreuses années en MP* dans le même établissement, avant de rejoindre en 2020 la classe de MP*4 du lycée Louis-le-Grand, où il a succédé à Monsieur Pommellet, parti à la retraite.

Serge Francinou est également l’un des auteurs des ouvrages de la collection Cassini – Oraux X-ENS, rédigés avec Serge Nicolas et Hervé Gianella, qui constituent une référence dans la préparation aux épreuves orales des concours scientifiques.

Il ne s’agit pas d’un cours développé, mais d’un aide-mémoire compact. Chaque point correspond à un résultat qu’un préparationnaire doit savoir citer, démontrer ou appliquer.
À ce titre, il constitue une checklist pour la préparation des concours X-ENS, permettant de vérifier de manière systématique que les notions essentielles ont été étudiées et maîtrisées.

Contenu

Le mémento couvre l’ensemble du programme de mathématiques de MP*, réparti en grands chapitres :

• Théorie des ensembles, arithmétique et algèbre générale : infinité de nombres premiers, congruences, indicatrice d’Euler, polynômes de Tchebychev et cyclotomiques, anneaux de Gauss.
• Algèbre linéaire et bilinéaire : décomposition de Fitting, réduction de Dunford, matrices compagnons, lemme d’Hadamard, déterminants remarquables, espaces caractéristiques.
• Analyse et topologie : théorème de Bolzano-Weierstrass, compacité, connexité, espaces vectoriels normés, intégrales classiques (Dirichlet, Wallis, Stirling), transformées de Laplace et de Fourier.
• Suites et séries : convergence, théorèmes d’Abel et de Weierstrass, séries de Bertrand et de Dirichlet, approximation polynomiale, étude de la fonction ζ.
• Équations différentielles et calcul différentiel : théorèmes de Cauchy-Lipschitz, lemme de Gronwall, oscillations de Sturm, exponentielles de matrices, hessienne et étude locale des extrema.
• Probabilités : axiomes de Kolmogorov, lois classiques (binomiale, de Poisson, géométrique, normale), lois des grands nombres, théorème central limite, inégalités de Tchebychev, Kolmogorov et Chernoff.
• Autres thèmes classiques : théorèmes de Sylow, polynômes de Legendre, Laguerre et Hermite, approximation de Weierstrass, noyaux de Fourier (Dirichlet, Fejér, Poisson), chaînes de Markov, théorème de Perron-Frobenius.

Usage recommandé

Ce mémento doit être utilisé comme un support de révision dans les dernières semaines de préparation.
Il ne remplace ni le cours ni les manuels d’exercices, mais fournit une vue d’ensemble permettant de s’assurer que les résultats fondamentaux du programme sont connus et disponibles immédiatement pour l’élève.

Ce mémento peut s’utiliser en complément du poly de révisions MP*1 de Tosel.