Agrégation physique-chimie externe 2022, épreuve 1, option physiqueSujet et rapport du jury

AGREGATION
CONCOURS EXTERNE

Section : PHYSIQUE-CHIMIE
Option : PHYSIQUE

COMPOSITION DE PHYSIQUE

INFORMATION AUX CANDIDATS

Ces codes doivent être reportés sur chacune des copies que vous remettrez.

Quelques propriétés des vitrages d'habitation

• -En un point M de l'espace, dans un repère d'origine O, on note r⃗ = OM^(→−) le vecteur position.
• -On note j le nombre complexe tel que j^2 = − 1.
• -Pour une grandeur à valeurs réelles dépendant du temps de façon harmonique, on note en la soulignant la grandeur complexe associée.
  On aura par exemple f(t) = Re[f_–(t)], avec f_–(t) = f_0 e^(jωt) pour la grandeur f(t) = f_0 cos(ωt).
  On pourra noter que les représentations complexes de fonctions sinusoïdales sont les seules qui répondent à cette convention. Les autres grandeurs sont associées à des lettres non soulignées. Par exemple, un indice de réfraction complexe sera représenté par la lettre n, non soulignée, même si sa partie imaginaire est non nulle.

• -Opérateurs vectoriels : rot^(→−)(rot^(→−)A⃗) = grad^(→−)(divA⃗) − Δ⃗(A⃗)
  div(grad^(→−)U) = ΔU
• -On rappelle le développement limité suivant, à l'ordre 2 en ε : (1 + ε)^α = 1 + αε + (α(α − 1))/2ε^2.

I. Le verre, milieu de propagation des ondes électromagnétiques

• 1)Rappeler les équations de Maxwell vérifiées par les champs électrique E⃗ et magnétique B⃗ dans le vide, en l'absence de charges et de courants.
  Obtenir l'équation de D'Alembert de propagation des champs électriques E⃗ et magnétique B⃗ dans le vide (en ne développant les calculs que pour un de ces deux champs), et donner l'expression de c, célérité de la lumière dans le vide.
  Dans le cas d'une onde électromagnétique plane progressive harmonique de pulsation ω, se propageant dans le vide, de vecteur d'onde k⃗, d'amplitude complexe E⃗_0, écrire le champ électrique E⃗_–(M, t). Obtenir la relation de dispersion.
• 2)On admet que le verre est un diélectrique linéaire homogène isotrope.
  Définir chacun de ces 4 mots écrits en caractères gras. Expliciter alors le lien entre champ électrique E⃗ et polarisation volumique P⃗.

• • -le mouvement des électrons est non relativiste ;
  • -les électrons d'un atome centré sur l'origine de l'espace sont soumis de la part du reste de l'atome à une force de rappel élastique f⃗ = − Kr⃗, où K est une constante ;
  • -les phénomènes dissipatifs d'énergie sont pris en compte sous la forme d'une force f^′→ = − (m_e)/τv⃗ où τ est un temps de relaxation et v⃗ le vecteur vitesse

• 3)Montrer que dans la gamme de longueurs d'onde considérée, le champ électrique de l'onde est pratiquement uniforme à l'échelle des atomes constituant le verre.
  Comparer en ordre de grandeur la composante magnétique de la force de Lorentz exercée par une onde électromagnétique sur un électron à la composante électrique, et conclure.
• 4)Écrire l'équation du mouvement d'un électron sous la forme
  (d^2 r⃗)/(dt^2) + (ω_0)/Q(dr⃗)/(dt) + ω_0^2 r⃗ = (q_e)/(m_e)E⃗,
  où E⃗ est le champ électrique de l'onde auquel l'atome est exposé. Donner l'expression et la signification concrète des paramètres ω_0 et Q.
  Le milieu étudié est globalement neutre, contenant N charges liées par unité de volume. Dans ce modèle simple, on assimile le champ électrique local au champ de l'onde électromagnétique dans le verre.
• 5)Exprimer le moment dipolaire p⃗ associé à une charge induit par le champ électrique.
  Pour une onde électromagnétique monochromatique de pulsation ω, déduire qu'en notation complexe, le vecteur polarisation volumique P⃗_– peut s'écrire sous la forme P⃗_– = ε_0 χ_e E⃗_–, avec :
  χ_e = (χ_0)/(1 + jω/(Qω_0) − (ω^2)/(ω_0^2))
  Nommer χ_e et exprimer χ_0 en fonction de ω_0 et de la «pulsation plasma» ω_p = √((Nq_e^2)/(mε_0)).

• 6)Réécrire les équations de Maxwell dans ce diélectrique, en régime sinusoïdal forcé. Montrer qu'elles prennent la forme de la question 1) en remplaçant ε_0 par ε = ε_0 ε_r, et définir ε_r, grandeur complexe, en fonction de χ_e. Donner le nom et l'unité de cette grandeur.

• 7)Déterminer la relation de dispersion en exprimant k^2(ω) en fonction de ε_r, ω et c.
• 8)Définir l'indice optique complexe du verre, noté n.
  On peut écrire, en général, n = n_1 − jn_2 avec n_1 et n_2 réels positifs dépendant de ω. À partir d'une discussion sur les phénomènes de propagation et d'atténuation des ondes électromagnétiques, précisez le sens concret que l'on peut donner aux paramètres n_1 et n_2.

FIGURE 1 - Indices optiques d'un vitrage d'habitation dans le modèle de l'électron élastiquement liée. Courbes tracées pour Q = 4 (par souci de commodité de lecture)

• 10)Retrouver, dans le cadre du modèle simple développé ci-dessus et dans le cas d'une onde dans le domaine visible, la loi de Cauchy donnant l'indice de réfraction d'un verre en fonction de la longueur d'onde λ :
  n = n_0 + B/(λ^2).
  Exprimer les constantes n_0 et B en fonction de χ_0 et λ_0.

FIGURE 2 - Photographie du goniomètre utilisé

• 11)Donner le nom et décrire succinctement le rôle et le principe de réglage des éléments identifiés par les repères II et II dans la photographie de la figure 2.

• 12)Sur la platine du goniomètre, on dispose le prisme, d'angle au sommet A opposé à sa base. Grâce au schéma d'un rayon lumineux incident avec l'angle i sur une face d'entrée, traversant le prisme et émergent de la face de sortie, définir l'angle D de déviation.
  Préciser, sans le résoudre mais en le justifiant et en précisant les notations utilisées, un système d'équations qui permet de déterminer D si l'angle d'incidence i et l'indice du verre sont connus (l'indice de réfraction de l'air est pris égal à 1).

• 13)Sans calcul, expliquer succinctement pourquoi il est préférable de mesurer l'angle de déviation minimum plutôt que l'angle de déviation obtenu pour une incidence quelconque.

• 14)Faire l'application numérique de (Δn)/n pour une valeur de D_m = 72, 0^∘, et indiquer le nombre de chiffres significatifs adéquat pour n.

• • -la fonction 'liste.append(x)' ajoute x à la fin de la liste « liste ».
  • -la fonction 'np.random.uniform(x,y)' tire aléatoirement avec une loi de distribution uniforme une valeur dans l'intervalle [x,y]

FIGURE 3 - Résultat du calcul numérique correspondant aux lignes 17 à 24 du code Python donné en annexe à la fin du sujet

• 15)Préciser l'action de la ligne 17 du code en indiquant la signification et la nature des variables res, InvI2 et N.

Ecarts:
[-0.0011828053577820352, 0.00011063148890255725, 0.0013092086927795066, 0.00102160882701163
-0.0004286787866516484, -0.0008299648642628998]
Incertitudes:
[0.0006304563822433166, 0.0006370645920952658, 0.0006695575720773862, 0.00073875796907560
0.0007479265210497462, 0.0007482074870668704]

• 16)Discuter, en argumentant, la validité du modèle affine de la figure 3.
• 17)Décrire le principe de la méthode, dite de Monte Carlo, mise en œuvre dans le bloc de lignes 40 à 50.
• 18)Déduire des histogrammes, donnés figures 4 et 5 , les valeurs que l'expérience permet d'obtenir pour les paramètres n_0 et B, la loi de Cauchy étant supposée valable. Préciser leur unité.
  Estimer l'incertitude sur ces deux grandeurs, avec une courte explication.
  Préciser la ligne du code qui définit le nombre d'itérations, ainsi que la valeur choisie ici pour ce nombre. Décrire succinctement l'effet qu'aurait une multiplication par dix de ce nombre d'itérations sur les histogrammes.

FIGURE 4 - Histogramme affiché après exécution de la ligne 55 du code Python donné en annexe à la fin du sujet

FIGURE 5 - Histogramme affiché après exécution de la ligne 58 du code Python donné en annexe à la fin du sujet

FIGURE 6 - Séquence de coloration d'une fenêtre électrochrome. Source : "Elektrochrome Verbundgläser Gesimat EC", Gesimat

FIGURE 7 - Représentation schématique d'un dispositif électrochrome à cinq couches

• -On aligne quatre pointes, équidistantes d'une distance a petite par rapport aux dimensions transversales de l'échantillon.
• -On envoie un courant électrique d'intensité I connue entre la pointe 1 et la pointe 4 et on mesure la différence de potentiel U entre les pointes 2 et 3.

FIGURE 8 - (a) Principe de la méthode des 4 pointes. (b) Forme cylindrique des équipotentielles autour de la pointe 1 dans le cas d'une couche mince d'épaisseur e_0.

• 19)Prouver, par un raisonnement détaillé, que dans ce cas on aura accès à la valeur de la conductivité électrique γ_e du matériau par la relation :
  γ_e = (ln2)/(πe_0)I/U
• 20)Expliquer qualitativement le fait remarquable que la distance a n'intervient pas dans l'expression du rapport U/I que l'on peut déduire de la question précédente?

FIGURE 9 - Transmission optique d'une surface S d'un dispositif électrochrome, lors de l'application périodique, toutes les 30 secondes, des différences de potentiels de coloration et de décoloration

FIGURE 10 - Charge électrique insérée dans la couche électrochrome par unité de surface (en mC ⋅ cm^(− 2) ) en fonction de la différence de potentiel en régime stationnaire

• -chaque couche électroconductrice OCT, d'épaisseur e_0 = 250 nm, et de conductivité électrique mesurée par la méthode des quatre pointes, est équivalente à une résistance R_e = 4Ω. ;
• -la migration des ions, en phase transitoire, est un facteur contribuant à limiter le temps de réponse du système. On modélise cette situation en admettant que la résistance R_e est en série avec une résistance R_i essentiellement due à la résistance ionique de l'électrolyte.
• 21)Dans le modèle simple adopté, on suppose que la transmission optique du dispositif est une fonction affine de la tension aux bornes de la capacité du circuit RC. Estimer la valeur de la résistance ionique R_i de l'échantillon de surface 10 cm^2. Commenter le résultat.

II. Isolation phonique des vitrages

• 22)Préciser les hypothèses qui constituent « l'approximation acoustique ».
  Écrire l'équation d'Euler et l'équation de conservation de la masse.
  En déduire deux équations linéarisées en p(M, t), ρ(M, t) et v⃗(M, t) en justifiant avec soin les approximations utilisées.

• 23)Dans le modèle du gaz parfait, établir l'expression de la célérité c_s en fonction de la température T.
  A l'aide des données numériques fournies en début d'énoncé, calculer c_s pour T_0 = 293 K.

• 24)Quel(s) argument(s) peut-on donner en faveur de la restriction de l'étude à une onde acoustique strictement harmonique ?
• 25)On définit l'impédance acoustique dans le fluide par : Z_c = (p_v)/(v_–), dans le cas d'une onde progressive.
  Établir l'expression de cette impédance en fonction de ρ_0 et c_S. Évaluer sa valeur dans l'air au repos.
• 26)On appelle Π⃗ = pv⃗ le vecteur de Poynting acoustique. Rappeler sa signification physique.
  L'intensité sonore I est donnée par la relation I = ⟨‖Π⃗‖⟩, où ⟩ représente l'opération de moyenne temporelle.
• 27)Exprimer l'intensité sonore I en fonction de p_a, ρ_0 et c_s.

• 28)Pour un niveau sonore de 40 dB, c'est-à-dire une intensité sonore I_0 = 10^(− 8) W.m^(− 2), évaluez les amplitudes des grandeurs progressives associées à cette onde, p_a pour la surpression, v_0 pour la vitesse et θ_0 pour la variation de température autour de T_0. Commentez les valeurs obtenues.

• 29)Donner les étapes principales du raisonnement permettant d'établir cette équation de diffusion thermique, en identifiant les notions, lois et principes mobilisés. La réponse n'excédera pas une dizaine de lignes ; elle ne comportera pas de détails analytiques, mais pourra s'appuyer sur un schéma.
• 30)Justifier, à l'aide de grandeurs caractéristiques de temps, l'hypothèse d'évolution isentropique de l'air associée à une onde sonore. On donne la valeur numérique de la diffusivité thermique de l'air D_(th,air) = 2 × 10^(− 5) m^2 ⋅ s^(− 1).

• 31)En explicitant hypothèses et notations, mener le raisonnement qui conduit à établir l'équation de propagation de l'onde acoustique dans le vitrage.
  Donner alors l'expression de la célérité de l'onde c_v en fonction des paramètres.
  Déduire de la valeur numérique tabulée de c_v une valeur de E que l'on comparera à celle tabulée.

• 32)Pour les fréquences audibles et pour un vitrage usuel d'épaisseur e = 4 mm, justifier que l'on peut décrire la vitre comme une plaque mince (c'est-à-dire sans épaisseur) pouvant se déplacer selon u⃗_z et de masse surfacique σ_v que l'on exprimera en fonction des données.

• 33)Justifier que ces trois ondes sont harmoniques de pulsation ω, et se propagent selon l'axe Oz.
  En notant les amplitudes complexes de surpression p_(r, 0) pour l'onde réfléchie et p_(t, 0) pour l'onde transmise, écrire les couples de fonctions : (p_i_–(z, t), v⃗_i_–(z, t)), (p_r_–(z, t), v⃗_r_–(z, t)) et (p_t_–(z, t), v⃗_t_–(z, t)).
• 34)On note w_–(t) la position complexe du vitrage autour de z = 0, w_–(t) étant une fonction harmonique de pulsation ω et d'amplitude complexe w_0. Montrer que l'on peut écrire :
  − σ_v ω^2 w_0 = 2p_(i, 0) − 2jωZ_c w_0
• 35)Obtenir la transmission acoustique (p_(t, 0))/(p_(i, 0)) et l'écrire sous la forme canonique de la fonction de transfert d'un filtre passe bas du premier ordre, dont on donnera l'expression de la fréquence de coupure f_c en fonction de Z_c et σ_v. Calculer numériquement f_c.
• 36)Montrer alors que l'atténuation à travers le vitrage simple s'écrit : R = 10log(1 + (f/(f_c))^2)
  Esquisser le graphe R en fonction de log(f/(f_c)) dans la copie, en faisant apparaître plusieurs décades.
  Décrire le comportement du simple vitrage prévu par ce modèle du point de vue de l'atténuation acoustique.
  Comment faut-il choisir le simple vitrage pour une bonne atténuation acoustique ?

• -la vitre « à gauche » autour de z = 0 avec une amplitude w_–_g(t) = w_(g, 0).exp(jωt)
• -la vitre « à droite » autour de z = d avec une amplitude w_–_d(t) = w_(d, 0).exp(jωt).

FIGURE 11 - Double vitrage étudié.
Conformément aux résultats précédents, l'épaisseur des vitres est représentée nulle.

37. Justifier que l'on peut considérer que la pression dans la cavité est uniforme.

• 38)Montrer que, dans l'hypothèse d'une évolution adiabatique, la surpression de l'air peut s'y exprimer par la relation :
  p_–_c = (ρ_0 c_s^2)/d(w_–_g − w_–_d)
  Écrire les équations du mouvement des vitres à gauche et à droite.

FIGURE 12 - Système équivalent masse - ressort - masse.

• 39)Écrire l'équation du mouvement de régime libre de chacune des deux masses. Exprimer enfin la raideur K_(eq) qui convient pour un système analogue au double vitrage, en fonction de ρ_0, c_S, d et S.

• 40)Déduire de la question précédente les modes propres de ce système, les commenter et montrer l'apparition d'une fréquence propre f_p dont on donnera l'expression en fonction de K et m.
• 41)Dans l'approximation (ω × d)/(c_s)≪1, des calculs non demandés aboutissent à l'expression suivante de la transmission acoustique t_p = (p_(t, 0))/(p_(i, 0)) du double vitrage :
  t_p = (j(ρ_0 c_s)/(ωσ_v))/(1 − (ω^2 σ_v d)/(2ρ_0 c_s^2)), qu'on peut donc ré-écrire t_p = (j(ρ_0 c_s)/(ωσ_v))/(1 − (ω/(ω_c^′))^2).
  Comparer la fréquence f_c^′ associée à la pulsation ω_c^′ à la fréquence propre f_p obtenue question 40).
• 42)Un graphe expérimental d'atténuation acoustique en fonction de la fréquence est reproduit figure 13, pour un vitrage double « 4 − 12 − 4 », soit deux vitres de verre d'épaisseur e = 4 mm avec un intercalaire d'air d'épaisseur d = 12 mm.
  En commentant précisément la courbe R donnée sur cette figure, discuter de la validité de l'expression théorique de la transmission acoustique :
  • -Décrire le comportement au voisinage de f_c^′ : on dira à quel phénomène cela correspond pour le système analogue « masse - ressort - masse » et on évaluera numériquement f_c^′. Quel(s) phénomène(s) physique(s) non pris en compte dans le modèle limite(nt) ceci en réalité ?
  • -Déterminer le comportement asymptotique de l'atténuation acoustique R pour f≪f_c^′ et f≫f_c^′. Commenter l'accord entre expérience et modèle théorique.

FIGURE 13 - Atténuation acoustique d'un double vitrage en fonction de la fréquence

III. Le verre, un matériau fragile

FIGURE 14 - Déformation d'une éprouvette de verre soumise à une traction unidirectionnelle

• -une augmentation d'énergie 2γ_(ts)eb, où γ_(ts) est un paramètre caractéristique de l'interface verre/air,
• -la libération de l'énergie (πeb^2 σ^2)/(2E) emmagasinée dans le matériau : la zone soulagée de cette énergie apparait en grisé sur la figure 15.

FIGURE 15 - Représentation schématique d'une plaque fissurée soumise à un essai de traction.

45. On considère que le système évolue en contact avec l'atmosphère, de température T_0 et de pression P_0 constantes. En début et en fin d'évolution, la plaque est en équilibre thermique et mécanique avec l'environnement. Montrer que l'enthalpie libre G de la plaque ne peut que diminuer ou rester constante.
46. En raisonnant par analogie proposer une origine physique pour les deux termes énergétiques liés à la présence de la fissure : (πeb^2 σ^2)/(2E) et 2γ_(ts)eb. Comment s'appelle habituellement la constante γ_(ts) ?
47. Donner l'expression de la dimension b_(eq) de la faille qui correspond à l'équilibre de celle-ci sous la contrainte σ. Discuter la stabilité de l'équilibre et décrire l'évolution prévisible d'une fissure de profondeur initiale b < b_(eq) et d'une autre de profondeur initiale b > b_(eq).

ANNEXE : Code Python (Questions 15 à 18)

#!/usr/bin/env python
# coding: utf-8
import numpy as np
from math import pi
import matplotlib.pyplot as plt
# Préparation des listes basées sur les valeurs expérimentales
N=[1.865, 1.862, 1.847, 1.812, 1.807, 1.807]
Lambda=[0.4047, 0.4078, 0.4358, 0.5461, 0.5770, 0.5791]
Dm=[77+39/60, 77+11/60, 74+53/60, 69+55/60, 69+15/60, 69+14/60]
Invl2=[]
for i in range (6):
    Invl2.append(1/(Lambda[i]**2))
# Tracé de la droite d'ajustement et des points expérimentaux
res=np.polyfit(Invl2,N,1)
xfit=np.linspace(min(Invl2),max(Invl2),2)
plt.plot(xfit, res [0]*xfit + res [1], 'r', label='Régression linéaire')
plt.errorbar(Invl2,N,xerr=0,yerr=0,fmt='b+',label='Mesures')
plt.xlabel("Inverse de la longueur d'onde au carré")
plt.ylabel("Indice optique n")
plt.legend()
plt.show()
# Calcul des incertitudes pour chaque point et affichage des valeurs
dN=[]
for i in range(6):
    dN.append(N[i]*0.5*1/(np.tan(0.5*(pi*60/180 + pi*Dm[i]/180)))*0.1*pi/180)
print("Incertitudes:")
print(dN)
# Ecarts entre les valeurs du modèle linéaire et les valeurs expérimentales
Ecarts=[]
for i in range (6):
    Ecarts.append(res[0]*Invl2[i]+res[1]-N[i])
print("Ecarts:")
print(Ecarts)
# **Monte-Carlo**
NbreIterations=10000
Valn0,ValB = [],[]
for i in range (NbreIterations):
    x=Invl2
    y=[]
    for j in range(6):
        y.append(N[j]+dN[j]*np.random.uniform(-1,1))
    p1,p2=np.polyfit(x,y,l)
    ValB.append(p1)
    Valn0.append(p2)
# Tracé des histogrammes
plt.hist(ValB, range=(0.018,0.019), bins =
color="blue",edgecolor="black",label='Histogramme pour B')
plt.legend()
plt.show()
plt.hist(Valn0, range=(1.749,1.754), bins =
color="blue",edgecolor="black",label='Histogramme pour n0')
plt.legend()
plt.show()