Agrégation physique externe 2021, épreuve 3Sujet et rapport du jury

AGREGATION
CONCOURS EXTERNE

Section : PHYSIQUE-CHIMIE
Option : PHYSIQUE

PROBLÈME DE PHYSIQUE

INFORMATION AUX CANDIDATS

Ces codes doivent être reportés sur chacune des copies que vous remettrez.

Ondes non linéaires de déplétion et d'élévation

I Ondes à la surface libre d'un liquide

Figure 1 - Déformation de la surface libre du liquide.

I. 1 Relation de dispersion des ondes de surface.

• 1)Une onde se traduit par une quantité physique dépendant à la fois de l'espace et du temps. À l'exception des ondes à la surface d'un fluide, objet de cette première partie, proposer un exemple d'onde, de telle sorte que son milieu de propagation soit unidimensionnel. Proposer de même un exemple d'onde se propageant dans un milieu bidimensionnel, puis dans un milieu tridimensionnel. Préciser dans chaque cas la nature du milieu de propagation.
• 2)Dans un milieu où la propagation de l'onde est linéaire et dans lequel il existe une relation entre la pulsation ω et le nombre d'onde k, appelée relation de dispersion, définir la vitesse de phase notée c_φ.
• 3)Identifier les variables physiques p et v⃗, et préciser leurs unités. Préciser la signification physique du champ de vecteur v⃗(x, y, z, t) dans les équations (1) et (2).
• 4)Identifier les paramètres μ et ρ et préciser leurs unités.

• 5)Quelle est la définition d'un fluide Newtonien? Quel(s) termes(s) de l'équation de Navier-Stokes traduit(sent) cette définition?
• 6)Supposer que l'écoulement étudié est incompressible vous parait-il une approximation raisonnable lors de l'étude des ondes de surface? Justifier votre réponse à l'aide d'ordres de grandeurs tirés de l'Annexe A et des figures 6 et 9 de l'Annexe C.
• 7)Construire à partir des constantes μ et ρ une quantité homogène à un coefficient de diffusion, notée ν. À partir d'une longueur naturellement associée à l'onde de surface, exprimer un temps caractéristique de diffusion. À partir des données numériques disponibles et des figures fournies, estimer ce temps caractéristique de diffusion pour le mercure. Conclure.
  Désormais les phénomènes visqueux ne seront pas pris en compte. Simplifier en conséquence l'équation (2).
• 8)On note η_0 l'amplitude typique des ondes de surface, τ leur période typique et λ leur longueur d'onde typique. Sous quelle condition portant sur η_0 et λ peut-on négliger le terme non-linéaire des équations de Navier-Stokes ?
• 9)Pour toute la suite du problème, on suppose le fluide incompressible et non visqueux. Pour toute la suite de cette partie, on se place dans le cadre de l'approximation linéaire (c'est-à-dire qu'on ne prend pas en compte le terme non-linéaire des équations de Navier-Stokes).
  Montrer que la vitesse du fluide peut être décrite comme le gradient d'un potentiel scalaire Ψ(x, z, t),
  v⃗ = ∇⃗Ψ.
  Obtenir l'équation aux dérivées partielles vérifiée par le potentiel, et montrer que l'on peut écrire
  (∂Ψ)/(∂t) + p/ρ + gz = (P_(atm))/ρ.
• 10)On cherche des ondes planes monochromatiques de nombre d'onde k et de pulsation ω. On prend alors le potentiel des vitesses, défini à une fonction du temps quelconque près, sous la forme
  Ψ(x, z, t) = F(z)cos(kx − ωt).
  Obtenir l'équation différentielle vérifiée par la fonction F(z). (On rappelle que ∇⃗ ⋅ (∇⃗g) = Δg où Δ est l'opérateur laplacien, et g une fonction scalaire quelconque de l'espace et du temps)
• 11)Quelle est la condition sur la vitesse du fluide au fond, pour z = − h ? En déduire une condition sur le potentiel des vitesses Ψ. Exprimer alors la fonction F(z).
• 12)Exprimer la condition à la surface libre sur la vitesse du fluide. Simplifier cette relation dans le cadre de l'approximation linéaire et montrer qu'elle se traduit par
  (∂η)/(∂t) ≈ (∂Ψ)/(∂z)|_(z = 0).
• 13)Pour une onde plane monochromatique, la surface libre est donnée par
  η(x, t) = η_0 sin(kx − ωt),
  où η_0 est une constante homogène à une longueur. En déduire F(z) en fonction de k, ω, h, η_0 et z.

• 14)Définir la tension de surface γ entre deux fluides en terme d'énergie, et en préciser une unité. La tension de surface admet aussi une interprétation en terme de force. Proposer un schéma appuyant cette interprétation, et préciser l'orientation de la force.
• 15)À la traversée d'une interface de rayon de courbure R entre deux fluides, la tension de surface induit une discontinuité de pression donnée par la loi de Laplace (voir Fig. 2)
  P_(int) − P_(ext) = γ/R.
  Dans le cas d'une interface d'équation η(x, t), la courbure 1/R est donnée par
  1/R = (− (∂^2 η)/(∂x^2))/([1 + ((∂η)/(∂x))^2]^(3/2))
  Sous quelle condition peut-on linéariser cette expression de la courbure en fonction de η et ses dérivées? Est-elle compatible avec la linéarisation de l'équation (2)?
  

  

• Figure 2 - Schéma d'une interface courbe z = η(x), avec les mêmes notations que dans l'Eqn. (8). Dans un but de simplification, la courbure dans la direction normale à la feuille de papier est supposée nulle.
• 16)Au dessus de l'interface, z > η(x, t), la pression est constante et uniforme, égale à P_(atm). Utiliser les résultats précédents pour exprimer de deux façons différentes la pression dans le fluide juste sous l'interface, à la limite z → η^−. Procéder à une linéarisation si nécessaire.
• 17)En déduire la relation de dispersion
  ω(k) = √((gk + γ/ρk^3) th kh).

II Vitesse de groupe et propagation de l'énergie

II. 1 Notion de vitesse de groupe

• [H1] - On suppose que la distribution spectrale uˆ(k) est piquée autour d'un nombre d'onde k_0. Plus précisément, son module est négligeable au delà d'un intervalle [k_0 − δk, k_0 + δk] avec δk≪k_0.
• [H2] - On suppose que la relation de dispersion admet un développement de Taylor au voisinage de k_0,

• 18)Proposer une expression de uˆ(k) compatible avec l'hypothèse [H1]. En représenter schématiquement le module |uˆ(k)|, et la partie réelle de l'amplitude initiale de l'onde u(x, t = 0) en fonction de x. Préciser l'expression de sa longueur d'onde typique λ_0 en fonction de k_0. Indiquer sur le schéma de u(x, t = 0) l'extension spatiale ΔL du paquet d'onde et la longueur d'onde λ_0. Quelle inégalité vérifie ΔL vis à vis de λ_0 ?
• 19)Donner un exemple de milieu de propagation où le développement (14) est impossible pour certaine(s) pulsation(s).
• 20)Montrer que sous les hypothèses [H1] et [H2], en première approximation, le paquet d'onde se propage sans déformation à une vitesse constante c_g, à part un facteur de phase global (c'est-àdire indépendant de la position). On indiquera très soigneusement, chaque fois que nécessaire, laquelle des deux hypothèses [H1] ou[H2] intervient dans la démonstration. Exprimer la vitesse c_g en fonction de ω_0^′ et vérifier qu'elle a bien la dimension physique d'une vitesse.
• 21)Quel phénomène physique pourrait-on mettre en évidence si on poussait le développement de Taylor (14) à l'ordre deux dans la démonstration précédente? (le calcul n'est pas demandé!)

II. 2 Propagation de l'énergie

• 22)Déduire de l'Eqn. (16) la vitesse de groupe, notée c_g, que l'on exprimera en fonction de g, ρ, γ, k et ω.
• 23)On considère une tranche de fluide de profondeur infinie, d'épaisseur dx, de largeur L dans la direction Oy lorsque le fluide est au repos. Calculer la densité linéique d'énergie cinétique e_K ≡ dE_K/dx où dE_K est l'énergie cinétique de la tranche d'épaisseur dx. Exprimer sa moyenne temporelle ⟨e_K⟩ en fonction de ρ, L, ω, k et η_0.
• 24)Lorsque le fluide est au repos, la surface libre de la tranche de fluide est à l'altitude z = 0, et sous l'effet de l'onde elle passe à l'altitude z = η(x, t). Calculer la densité linéique de la variation d'énergie potentielle de gravité e_P^G ≡ dE_P^G/dx (où dE_P^G est la variation d'énergie potentielle de gravité de la tranche de fluide) en fonction de ρ, g, L et η. En déduire sa valeur moyenne ⟨e_P^G⟩ en fonction de ρ, L, g et η_0.
• 25)Sous l'effet de la déformation de la surface libre due à l'onde, l'épaisseur dx de la tranche est modifiée en surface. Calculer sa nouvelle longueur d l à l'ordre le plus bas en ∂η/∂x, puis la variation de surface de l'interface entre le liquide et l'atmosphère. En déduire la densité linéique de la variation d'énergie potentielle de capillarité e_P^C ≡ dE_P^C/dx (où dE_P^C est la variation d'énergie potentielle de capillarité de la tranche de fluide), en fonction de γ, L et ∂η/∂x. En déduire sa valeur moyenne ⟨e_P^C⟩ en fonction de γ, L, k et η_0.
• 26)Montrer que
  ⟨e_K⟩ = ⟨e_P^G⟩ + ⟨e_P^C⟩.
  Commenter. Exprimer la densité linéique totale d'énergie ⟨E⟩ = ⟨e_K⟩ + ⟨e_P^G⟩ + ⟨e_P^C⟩ en fonction de ρ, ω, k, L et η_0.
• 27)La variation de pression δp due à l'onde de surface est la correction au champ de pression hydrostatique. Montrer que
  δp = − ρ(∂Ψ)/(∂t).
  En déduire la puissance Π_P des forces de pression dues à l'onde de surface traversant une surface plane d'abcisse x de la gauche vers la droite (c'est-à-dire dans le sens de propagation de l'onde), dont la hauteur est celle, infinie, de la couche de fluide et dont la largeur est L dans la direction Oy. Exprimer sa moyenne temporelle ⟨Π_P⟩ en fonction de ρ, ω, k, L et η_0.
• 28)De même, calculer la puissance Π_C des forces capillaires traversant un plan d'abcisse x de la gauche vers la droite, pour une largeur L dans la direction Oy. Préciser sur un schéma l'orientation de la force capillaire à prendre en compte. Exprimer sa moyenne temporelle ⟨Π_C⟩ en fonction de γ, ω, k, L et η_0.
• 29)Exprimer la puissance totale ⟨P⟩ = ⟨Π_P⟩ + ⟨Π_C⟩. Montrer que ⟨P⟩/⟨E⟩ est homogène à une vitesse, et exprimer cette vitesse en fonction de g, ρ, γ, k et ω. Conclure.

III Étude expérimentale de la vitesse de phase

III. 1 Mesure de l'amplitude des ondes de surface

• 30)Dans l'Annexe B.1, les auteurs précisent avoir choisi le mercure pour mener à bien leur étude expérimentale. Commenter ce choix.
• 31)Faire un schéma clair du dispositif expérimental. Indiquer ses dimensions, la position de l'émetteur, ainsi que celle des deux capteurs inductifs.
• 32)Expliquer le principe des mesures optiques à l'aide d'un schéma clair. Expliquer en particulier en quoi cette mesure est sensible à la pente de la surface libre et pas directement à la position de celle-ci. Cette mesure utilise un capteur CCD linéaire de 8192 pixels, chaque pixel étant un carré de 5μ m de coté. Estimer la distance entre le capteur CCD et la surface du fluide si l'on veut pouvoir enregistrer l'intégralité de la déformation de la surface libre, comme dans les Figures 7 et 9.
• 33)Les auteurs ont employé un Laser dans leur étude. Comparer la résolution spatiale des mesures optiques à celle des capteurs inductifs, qui est du même ordre de grandeur que leurs dimensions latérales.

III. 2 Principe d'un capteur inductif

• 34)Rappeler l'expression du moment magnétique d'une boucle de courant.
• 35)Schématiser la forme des lignes du champ magnétique créé par une boucle de courant, et préciser les éventuelles symétries de la figure.
• 36)Rappeler l'orientation et l'amplitude du champ magnétique créé par la boucle de courant sur son axe, à une distance Δd de son centre. On posera Δl = √(Δd^2 + a^2).
• 37)On note σ la conductivité électrique du mercure. Définir l'épaisseur de peau δ dans un conducteur, et en proposer un ordre de grandeur. Comparer δ à a.
  (On rappelle la perméabilité magnétique du vide, μ_0 = 4π × 10^(− 7)USI ).
• 38)On modélise le courant induit par la bobine dans le mercure par une boucle de courant de rayon a. On rappelle que pour deux circuits filiformes C_1 parcouru par un courant i_1 et C_2 parcouru par un courant i_2, l'inductance mutuelle M est définie par
  Φ_(12) = Mi_2, Φ_(21) = Mi_1,

• où Φ_(12) est le flux envoyé par C_2 à travers C_1, et respectivement Φ_(21) est le flux envoyé par C_1 à travers C_2. Estimer l'inductance mutuelle entre la bobine et la distribution de courant induite dans le mercure, et préciser sa variation avec la distance Δd.
• 39)Le signal de sortie du capteur est une tension proportionnelle au décalage de fréquence causé par la présence d'une cible conductrice à proximité de la bobine. Dans une gamme de distance de 0 à 5 mm, ce décalage peut être ramené à zéro. Comment procéder pour que le capteur donne une réponse linéaire à la variation de distance entre le capteur et la surface libre du mercure due à l'onde de surface?
• 40)Les ordres de grandeurs fournis dans l'Annexe B.1, ainsi que les amplitudes des ondes, permettentils d'espérer rester dans un domaine de réponse linéaire?

III. 3 Mesure de vitesse de phase

• 41)Avec quel type d'excitation électrique doit on alimenter l'émetteur d'ondes pour procéder à des mesures de vitesse de phase ?
• 42)Définir les notions de champ proche et champ lointain pour une onde. Expliquer pourquoi une mesure de vitesse de phase n'a de sens que si l'on est en champ lointain. Vérifier que tel est bien le cas pour les mesures commentées dans cette partie.
• 43)Les mesures de phase nécessitent l'emploi de deux capteurs C_1 et C_2 aux positions X_1 et X_2, avec X_1 < X_2 si l'onde se propage dans le sens des x positifs. Les signaux issus des deux capteurs sont notés
  {s_1(t) = s_0 cosωt; s_2(t) = s_0 cos(ωt − φ)
  Donner l'expression de φ en fonction de la fréquence de l'onde f = ω/(2π), de c_φ, X_1 et X_2.
• 44)On représente dans la Figure 3 les signaux issus des deux capteurs sur un écran d'oscilloscope à une fréquence f donnée. Identifier les deux signaux s_1(t) et s_2(t). Indiquer comment mesurer un déphasage φ˜ entre ces deux signaux.

Figure 3 - Visualisation des signaux s_1(t) et s_2(t) sur un écran d'oscilloscope. L'origine des temps est au centre de l'écran.

• 45)La phase φ(f) est différente de la phase mesurée φ˜. En effet, la valeur de cette dernière est mesurée modulo 2π. Il faut corriger les discontinuités de 2π qui figurent dans les mesures brutes, de sorte que la courbe φ(f) soit monotone. Dans le texte de l'annexe B.2, les auteurs rappellent la nécessité de ce traitement des données, qui est appelé dérouler la phase (en Anglais, unwrapping).Combien de fois doivent-ils faire ce traitement de données pour tracer une des courbes de la figure 6, en suivant leur protocole de mesure?
• 46)Combien de fois la phase entre les deux capteurs varie-t-elle de 2π pour une fréquence de 5 Hz et pour une fréquence de 25 Hz dans chacune des configurations de la Fig. 6?
• 47)Commenter la valeur trouvée expérimentalement pour la tension de surface air-mercure pour ajuster les données expérimentales de la Fig. 6 à la courbe théorique Eqn. (10).
• 48)Expliciter la relation entre la vitesse de phase c_φ(λ) et la longueur d'onde λ(f) à la fréquence f. Expliquer comment l'utilisation d'un stroboscope peut donner un accès direct à la longueur d'onde λ(f).

IV Couplage entre effets dispersifs et effets non-linéaires.

IV. 1 Ondes de surface et équation de Korteweg-de Vries

• 49)Vérifier que le nombre de Bond Bo est sans dimension. Exprimer la relation de dispersion ω(k) [voir Eqn. (10)] en fonction de g, k, h et Bo.
• 50)On se place dans la limite de faible épaisseur, kh≪1. Développer la relation de dispersion à l'ordre 2 en kh. Le résultat sera exprimé en fonction de c_s, k, h et Bo. On rappelle :
  th ε = ε − (ε^3)/3 + O(ε^5) pour |ε| < 1, √(1 + ε) = 1 + ε/2 + O(ε^2).
• 51)Réécrire l'équation de KdV (22) sans le terme non linéaire. Etablir la relation de dispersion pour une onde monochromatique A(x, t) = A_0 cos(kx − ωt), et discuter sa compatibilité avec celle des ondes à la surface libre d'un fluide.
• 52)Montrer que dans la limite kh → 0 la propagation de l'onde n'est plus dispersive, et exprimer la vitesse de propagation en fonction de g et h.
  Si l'élévation de la surface libre n'est pas négligeable, l'épaisseur de la couche de fluide devient localement h + A(x, t). Estimer la correction à apporter à la vitesse de propagation de l'onde, notée c, au premier ordre dans la petite quantité |A(x, t)|/h.
• 53)La vitesse de phase est la vitesse de l'onde dans un référentiel où le fluide est au repos. Si l'on prend en compte les effets non linéaires, il faut prendre en compte la vitesse d'écoulement du fluide, qui vient corriger le résultat précédent. L'amplitude de l'onde était notée η(x, t) dans la première partie, ce qui donne comme ordre de grandeur η(x, t) ∼ A(x, t).
  Déduire de l'équation (6) l'ordre de grandeur de la vitesse verticale v_z du fluide en surface.
  Déduire de la condition à la limite en z = − h un ordre de grandeur pour le terme dominant de ∂v_z/∂z.
  Utiliser l'incompressibilité de l'écoulement pour estimer l'ordre de grandeur du terme dominant de ∂v_x/∂x, puis celui de la vitesse horizontale v_x à la surface. En déduire la correction à apporter à c, en fonction de c_s, A et h.
• 54)Réécrire l'équation de KdV (22) sans le terme dispersif. Conclure sur la validité de l'équation de KdV pour décrire les ondes faiblement dispersives (k → 0) et faiblement non-linéaires (|A(x, t)|≪h) à la surface libre d'un fluide.

IV. 2 Intermède : un peu de mécanique du point matériel

• 55)Obtenir l'équation du mouvement de la particule.
• 56)Calculer les positions d'équilibre de la particule en fonction de α et β et préciser leur stabilité.
• 57)Représenter l'énergie potentielle U(x) en fonction de x. On notera U^∗ l'énergie potentielle correspondant à la position d'équilibre stable x^∗, et on l'exprimera en fonction de α et β.
• 58)Justifiez la conservation de l'énergie mécanique de la particule, notée E, et précisez son expression. On suppose U^∗ < E < 0, montrer graphiquement que la particule peut être animée d'un mouvement périodique entre deux positions x_1 et x_2, avec 0 < x_1 ⩽ x ⩽ x_2, et placer E, x_1 et x_2 sur le graphe précédent (Il est inutile d'expliciter x_1 et x_2 ). Exprimer la période d'oscillation T(E) comme une intégrale entre x_1 et x_2 (on ne demande pas de la calculer).
• 59)Calculer la période T^∗ des petites oscillations autour de x^∗. Qu'appelle-t-on l'isochronisme des petites oscillations?
• 60)On suppose E = 0. Expliciter x_1 et x_2 dans cette limite, en fonction de α et β. Montrer que la période d'oscillation T tend vers l'infini dans la limite E → 0. Représenter schématiquement la période d'oscillation T(x_2 − x_1) en fonction de l'amplitude des oscillations x_2 − x_1, pour U^∗ ⩽ E ⩽ 0.

61. On a représenté dans la Figure 4 trois représentations graphiques de la position x(t) en fonction du temps t, pour des énergies E telle que U^∗ < E ⩽ 0. Classer ces figures par valeur de E croissante, en justifiant votre réponse. Préciser pour la courbe de droite l'énergie E, la valeur minimale de x(t) et sa valeur maximale.

Figure 4 - En traits pleins : solution exacte x(t) pour une particule d'énergie mécanique E en fonction du temps t, pour U^∗ < E ⩽ 0. En traits pointillés : Sinusoïde de même amplitude et de même période que la solution exacte. À droite la solution n'est pas périodique.

• 62)Faire un portrait de phase de l'oscillateur dans le plan (x, x˙) où x˙ ≡ dx/dt. On tracera la position d'équilibre d'énergie U^∗, une trajectoire périodique, la trajectoire d'énergie mécanique E = 0, et une trajectoire d'énergie E > 0. Dans le plan de phase, la trajectoire d'énergie mécanique E = 0 est appelée séparatrice. Pourquoi?

IV. 3 L'onde solitaire de Korteweg-de Vries

• 63)Dans la Fig. 5, nous représentons l'élévation de la surface libre A(x, t = 0) à un instant initial t = 0.

Figure 5 - Représentation schématique d'une onde A(x, t) ⩾ 0 se propageant selon l'axe Ox, de la gauche vers la droite, dans un milieu non linéaire. Le profil de l'onde est dessiné à l'instant initial t = 0.

• 64)On suppose maintenant que le terme dispersif de l'équation de KdV est absent. Exprimer alors la vitesse de l'onde c en fonction de c_s, A et h. Montrer sur un schéma comment évolue la forme d'onde de la Fig. 5 pour t > 0.
• 65)Notons A_0 l'amplitude maximale de l'onde, L sa largeur spatiale typique. Expliciter la relation entre A_0, L et h pour que les effets dispersifs et les effets non-linéaires sur la vitesse de propagation de l'onde se compensent.
• 66)Il est donc raisonnable d'espérer trouver des solutions de type onde solitaire de l'équation de KdV. Il s'agit d'ondes non-linéaires se propageant sans déformation à vitesse constante c. On cherche donc des ondes telles que A(x, t) = A(χ) avec χ ≡ x − ct, solution de l'équation (22). Ecrire l'équation différentielle du troisième ordre vérifiée par la fonction A(χ). On pourra noter A^′ ≡ dA/dχ.
• 67)On cherche une onde localisée, c'est-à-dire telle que A(χ → ± ∞) → 0, comme pour le profil de la Fig. 5. Intégrer une première fois l'équation différentielle précédente.
• 68)On suppose Bo < 1/3. Intégrer une seconde fois cette équation, et montrer que l'on peut écrire
  m((dA)/(dχ))^2 = βA^2 − α/3A^3 + 2E,
  où m = c_s h^2(1 − 3Bo)/6, où α et β sont des constantes réelles que l'on exprimera en fonction de c_s, c et h, et où 2E est une constante d'intégration. On suppose β > 0, en déduire une inégalité entre les vitesses c et c_s.
• 69)Établir une analogie avec le problème précédent de Mécanique du Point. Dans un tableau, on portera systématiquement les quantités mécaniques et les quantités analogues se référant à l'onde solitaire. On précisera en particulier l'analogue mécanique de la constante d'intégration E.

• 70)Montrer que, pour une valeur de la constante E que l'on précisera, l'équation (25) admet la solution [on rappelle que (∀x ∈ ℝ), ch^2 x − sh^2 x = 1 ]
  A(χ) = (3β)/α1/(ch^2[(β/m)^(1/2)χ/2]).
  Représenter graphiquement cette fonction. Vous parait-elle une représentation acceptable d'une onde solitaire?
• 71)Exprimer l'amplitude maximale de l'onde solitaire, A_0, en fonction de α et β, et vérifier A_0 > 0 (onde solitaire d'élévation). Exprimer la vitesse c en fonction de c_s, A_0 et h. Verifier que cette expression est cohérente avec l'inégalité β > 0.
• 72)À partir de l'expression de A(χ), estimer l'extension spatiale caractéristique L de l'onde solitaire. Quel résultat retrouve-t-on pour l'ordre de grandeur de L ?
• 73)On suppose maintenant Bo > 1/3. Il reste possible d'utiliser une analogie mécanique, en prenant garde que le paramètre équivalent à la masse soit positif. Reprendre l'analyse précédente en effectuant les modifications appropriées. Montrer qu'il existe une onde solitaire avec A_0 < 0 (onde de déplétion).
• 74)On définit le nombre de Froude Fr ≡ c/c_s. Préciser pour chacune des ondes solitaires précédentes, dans les cas Bo < 1/3 puis Bo > 1/3, l'inégalité vérifiée par le nombre de Froude.

IV. 4 Ondes solitaires de déplétion et d'élévation

• 75)Une première observation d'ondes solitaires est donnée dans la Fig. 7. Calculer le nombre de Bond Bo dans chaque cas et vérifier que cette valeur est cohérente avec l'analyse précédente. On rappelle g = 9.81 USI.
• 76)Les auteurs de l'étude expérimentale détaillée dans les Annexes insistent sur le fait qu'il n'utilisent aucun paramètre libre pour la comparaison entre leurs mesures expérimentales et la formule théorique (26). Expliquez pourquoi.
• 77)Déduire de l'amplitude des ondes solitaires de la Fig. 7 leur vitesse de propagation, et estimez l'extension spatiale de ces ondes. Comment se compare-t-elle à la distance sur laquelle elles se sont propagées?
• 78)La forme des ondes solitaires de déplétion en fonction de leur distance à l'émetteur est représentée dans la Fig. 8. Pourquoi la comparaison entre théorie et expérience est-elle moins bonne pour la toute première? Expliquer la construction de la figure présentée en insert.
• 79)La vitesse adimensionnée c/√(gh) est représentée en fonction de A_0/h pour plusieurs ondes solitaires dans la Fig. 9. Comparer ces résultats expérimentaux aux prédictions théoriques de la partie IV.3. Commentez les valeurs expérimentales des nombres de Bond, la répartition des points de mesure par rapport à la valeur c/√(gh) = 1, et enfin la pente de la droite en traits pleins représentée sur la figure.

IV. 5 Effets dissipatifs

• 80)Quelle figure parmi celles étudiées à la question précédente mettait en évidence une atténuation des ondes solitaires?
• 81)L'équation de KdV ne comporte aucun terme dissipatif. Comment expliquer qu'elle rende aussi bien compte de la forme des ondes solitaires observées expérimentalement?
• 82)A l'aide des données de la Fig. 10, proposer une définition de la longueur d'atténuation ζ(h). Le symbole • correspond à h_0 = 2.12 mm. Estimer ζ(h_0) à partir de la Figure 8 et vérifier la cohérence avec les résultats de la Figure 10.
• 83)Les ondes solitaires de déplétion se comportent elles différemment des ondes solitaires d'élévation en ce qui concerne leur atténuation? Quel est le résultat expérimental sur la dépendance de ζ(h) en fonction de h ?

ANNEXES

A Valeurs numériques

B Extraits d'article scientifique

B. 1 Descriptions du dispositif expérimental

B. 2 Mesure de la vitesse de phase

C Résultats expérimentaux

Figure 6 - Vitesse de phase (m/s) en fonction de la fréquence f pour une profondeur h = 3.3(+), 4.6 (o) et 8 (□) mm. Les lignes continues représentent ω(k)/k obtenue à partir de l'Eqn. (10) pour γ = 0.4 USI et h = 3.3 (courbe du bas), 4.6 (milieu) et 8 (haut) mm. Dans l'insert on montre la longueur d'onde en fonction de la fréquence obtenue par des mesures additionnelles avec un stroboscope (mêmes symboles que précedemment).

Figure 7 - (a) Profil d'une onde solitaire de déplétion pour h = 2, 12 mm et A_0 = − 0, 064 mm; (b) profil d'une onde solitaire d'élévation pour h = 5, 60 mm et A_0 = 0, 570 mm. Les courbes en traits pleins sont l'enregistrement temporel du déplacement de la surface du fluide mesuré par un capteur situé à 300 mm (a) et 200 mm (b) de l'émetteur d'onde. Les lignes pointillées sont les solutions théoriques (26) correspondant à chaque cas.

Figure 8 - Propagation d'une onde solitaire de déplétion pour h = 2, 12 mm, enregistrée à des distances de l'émetteur allant de 100 mm à 1100 mm par pas de 100 mm . L'origine des temps est définie par l'émetteur. Les lignes pointillées sont les solutions théoriques (26) correspondant à chaque cas. L'insert montre les ondes solitaires de déplétion aux distances 200, 300, 400 et 500 mm , en variables d'échelle − A/A_0 et tc|A_0|^(1/2).