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Étude d'une membrane optomécanique
Ce sujet traite de divers aspects du domaine de l'optomécanique qui s'intéresse à l'interaction entre la lumière et un résonateur mécanique. Grâce à des mesures interférométriques, les mouvements du résonateur peuvent être observés avec une sensibilité prodigieuse, meilleure que l'attomètre (10^(− 18) m) sur certains dispositifs. Avec une telle sensibilité, il est possible d'observer les fluctuations quantiques du résonateur. Cependant, ces dernières sont généralement masquées par le mouvement brownien provoqué par l'agitation thermique et il est nécessaire de fortement refroidir le résonateur pour observer son caractère quantique. La température à atteindre est généralement inférieure à celles accessibles par des techniques de cryogénie standard et l'on a recours à un refroidissement actif du résonateur.
Si la diversité des objets mécaniques qu'il est possible d'étudier est considérable, un des résonateurs les plus utilisés est une membrane diélectrique en nitrure de silicium, fortement tendue, de surface de l'ordre de 1 mm^2 et d'épaisseur quelques centaines de nanomètres. La problématique est alors d'avoir un facteur de qualité mécanique et une réflectivité optique de ce système les plus grands possible.
Figure 1: Membrane optomécanique : le cadre en silicium fait 5 mm de coté, la membrane carrée ultrafine au centre est quasiment parfaitement transparente.
Le problème se décompose en quatre parties très largement indépendantes. La première partie traite de l'aspect mécanique de la membrane et de son équilibre thermique. Cette partie se termine sur l'étude d'une technique de refroidissement actif permettant de réduire la température du résonateur au détriment d'une augmentation de son amortissement. La seconde partie s'intéresse à la mesure de l'amortissement de la membrane grâce à la technique de ring down qui nécessite l'extraction des quantités appelées quadratures du mouvement. La troisième partie étudie le profil spatial des modes de vibration mécanique ainsi que leur fréquence de résonance. Cette étude permet d'évaluer différents phénomènes d'amortissement tels que le rayonnement acoustique et les pertes intrinsèques dans le matériau. Enfin, la quatrième partie s'intéresse aux aspects optiques de la membrane considérée comme une couche fine diélectrique. On y étudie la possibilité de rendre la membrane extrêmement réfléchissante grâce à la gravure d'un cristal photonique.
Toutes les applications numériques seront données avec un seul chiffre significatif.
On donne :
Constante de Boltzmann
k_B = 1, 4 × 10^(− 23) J K^(− 1)
Constante de Planck réduite
ℏ = h/2π = 1, 1 × 10^(− 34) J s
Vitesse de la lumière dans le vide
c = 3, 0 × 10^8 m s^(− 1)
Permittivité du vide
ε_0 = 8, 9 × 10^(− 12) F m^(− 1)
Pour les caractéristiques de la membrane et de son environnement, on prendra :
Masse volumique du nitrure de silicium
ρ = 3200 kg m^(− 3)
Epaisseur
h = 100 nm
Largeur
a = 1 mm
Masse du mode fondamental
M = 80ng
Pulsation du mode fondamental
Ω_M = 2π × 400kHz
Masse volumique de l'air
ρ_0 = 1, 2 kg m^(− 3)
Vitesse du son dans l'air à 300 K
340 ms^(− 1)
Dans le problème, δ(x) désigne la distribution de Dirac, nulle partout sauf en x = 0 où elle diverge, avec la propriété que pour toute fonction f :
∫_(− ∞)^(+ ∞)f(x)δ(x − x_0)dx = f(x_0)
On rappelle :
1/T∫_0^T sin^2(2πt/T)dt = 1/T∫_0^T cos^2(2πt/T)dt = 1/2; cos(a + b) = cosacosb − sinasinb; sin(a + b) = sinacosb + sinbcosa; cosacosb = 1/2(cos(a − b) + cos(a + b)); sinacosb = 1/2(sin(a − b) + sin(a + b)); sinasinb = 1/2(cos(a − b) − cos(a + b))
Dans le texte, on utilise les notations X˙ = (dX)/(dt) et f^′ = (df)/(dx). Enfin, on rappelle que si V(r⃗) est un champ scalaire, A⃗(r⃗) un champ vectoriel, f(x) une fonction d'une variable réelle et x_0 une constante réelle :
Dans cette partie, on étudie les mouvements de la membrane induits par le couplage à son environnement. La membrane est assimilée à un oscillateur harmonique, constitué d'une masse M se déplaçant uniquement selon l'axe horizontal Ox, et d'un ressort sans masse, de raideur K. La position de la masse est repérée par son abscisse x(t). La position de repos du système est à l'abscisse x = 0.
1.Faire un schéma du système équivalent à la membrane et écrire l'équation du mouvement de la masse en l'absence de frottement.
2.Donner la solution générale réelle de cette équation, en faisant intervenir la pulsation propre Ω_M du résonateur, que l'on exprimera en fonction des paramètres du système.
L'interaction de la membrane avec son environnement se traduit par une force de frottement visqueux
F_v = − MΓx˙
où Γ est le coefficient de frottement visqueux réel et strictement positif.
3.A quelle condition sur les paramètres Γ et Ω_M, peut-on encore parler d'un système oscillant ? Dans ce cas, exprimer la nouvelle pulsation Ω de résonance du système et montrer qu'au premier ordre en Γ/Ω_M elle est égale à celle du cas non amorti.
4.Tracer x(t). On fera apparaître sur le graphe les principales constantes de temps du problème.
La force de frottement visqueux provient du couplage avec l'environnement qui est à une température T non nulle et s'accompagne de l'introduction dans le système de fluctuations. Ce phénomène se traduit par une force supplémentaire aléatoire appelée force de Langevin. Sa composante selon l'axe du mouvement est notée F_T, c'est un bruit blanc gaussien avec les propriétés statistiques suivantes :
⟨F_T(t)⟩, = 0,; ⟨F_T(t)F_T(t^′)⟩, = A_T δ(t − t^′); avec A_T, = 2MΓk_B T
où k_B désigne la constante de Boltzmann et où ⟨…⟩ représente la moyenne statistique.
5.Que traduisent physiquement les équations 2 et 3 ?
La solution de l'équation différentielle d'un oscillateur amorti en présence d'une force extérieure F_(ext)(t) autre que les forces de rappel et d'amortissement est donnée par :
6.Qualitativement, que représentent les deux termes dans l'expression de x(t) ? Que traduisent les bornes d'intégration 0 et t dans le premier terme, en particulier pourquoi l'intégration ne se fait-elle pas de − ∞ à + ∞ ?
7.Que devient le second terme pour des temps t grands devant 1/Γ ? Vérifier alors que, dans le cas où la seule force extérieure est la force de Langevin, la valeur moyenne de la position, ⟨x(t)⟩, est nulle.
8.Toujours dans le cas où la seule force extérieure est la force de Langevin et pour des instants t suffisamment grands devant 1/Γ, calculer les quantités ⟨x^2(t)⟩ et ⟨x˙^2(t)⟩.
On pourra utiliser la relation suivante valable pour une fonction de plusieurs variables : d/(dt)∫_0^t f(t, τ)dτ = f(t, t) + ∫_0^t∂/(∂t)f(t, τ)dτ
ainsi que ∫_0^(+ ∞)χ^2(τ)dτ ≃ 1/(2M^2 Ω_M^2 Γ); ∫_0^(+ ∞)χ˙^2(τ)dτ ≃ 1/(2M^2 Γ)
9.Définir l'énergie potentielle E_p et l'énergie cinétique E_c du résonateur et montrer que sous l'effet de la force de Langevin on a la relation : ⟨E_p⟩ = ⟨E_c⟩ = 1/2k_B T
10.Pour un oscillateur de pulsation Ω_M = 2π × 400kHz et de masse M = 80ng, à température ambiante, donner l'ordre de grandeur de l'amplitude moyenne des oscillations et le comparer à la taille d'un atome.
Malgré la très faible amplitude des fluctuations thermiques, celles-ci restent en pratique 3 à 4 ordres de grandeur plus importantes que l'amplitude des fluctuations quantiques que l'on cherche à observer dans les expériences d'optomécanique. Il est possible de diminuer les fluctuations
thermiques en modifiant la température du résonateur par une méthode active : on mesure la position de l'oscillateur et on applique une force de contre-réaction du type :
F_(cr)(t) = − g_1 Kx(t) − g_2 MΓx˙(t)
où g_1 et g_2 sont des constantes sans dimension caractérisant les gains de la chaîne de mesure et de contre-réaction.
11.En utilisant les équations (5) et (6) et en considérant x(0) = 0 et x˙(0) = 0, montrer que le déplacement x(t) du résonateur soumis à la force de Langevin et à la force supplémentaire F_(cr) de contre-réaction, se met sous la forme x(t) = ∫_0^t χ_(cr)(t − τ)F_T(τ)dτ
pour une fonction χ_(cr) que l'on précisera.
12.En déduire que pour des gains g_2 positifs, l'énergie mécanique du résonateur correspond à celle d'un oscillateur à une température T^′ que l'on précisera. En déduire que l'on peut refroidir le résonateur au détriment d'une augmentation de l'amortissement.
2 Mesure du facteur de qualité par Ring Down
Dans le document scientifique 1 ci-dessous et pour les questions traitant d'électrocinétique, on utilise la notation j pour désigner le nombre imaginaire pur tel que j^2 = − 1.
Document scientifique 1 : Extrait de thèse
Pour un système mécanique, on définit les quadratures X_1 et X_2 du mouvement comme les composantes de la position sur les fonctions sinus et cosinus oscillant à une pulsation de référence Ω_(ref),
x(t) = X_1(t)cos(Ω_(ref)t) + X_2(t)sin(Ω_(ref)t)
L'observation des quadratures correspond en fait à l'étude du mouvement dans un référentiel tournant à Ω_(ref). Dans le cas d'un oscillateur harmonique de pulsation Ω_M, prendre la pulsation du référentiel tournant Ω_(ref) proche de (ou égale à) la pulsation Ω_M permet de s'affranchir dans le mouvement x(t) de la partie purement oscillante et de n'étudier que l'évolution lente des quadratures. En effet, le temps caractéristique d'évolution de l'amplitude d'oscillation d'un mode du résonateur est l'inverse de son taux de relaxation Γ qui, pour un oscillateur harmonique faiblement amorti, est très petit devant Ω_M. Les quadratures sont donc lentement variables par rapport à la période d'oscillation du résonateur. Cette propriété permet de négliger les termes évoluant à des fréquences élevées, voisines de Ω_M/2π, dans l'expression des composantes de Fourier des quadratures X_1 et X_2. Dans ce cas, l'expression obtenue coïncide avec la définition usuelle des quadratures, telle qu'elle existe par exemple
en optique pour un mode du champ électromagnétique.
Les quadratures de la position x(t) sont obtenues expérimentalement par une méthode de démodulation. Pour obtenir par exemple la quadrature X_1, on multiplie la fonction x(t) par la fonction Q_1(t) = cos(Ω_(ref)t). En utilisant l'équation 1.A, on trouve que le résultat est la somme de X_1(t)/2 et d'autres termes oscillants à des pulsations de l'ordre de 2Ω_M. Un filtre passe-bas permet d'éliminer ces termes à haute fréquence et d'accéder ainsi à X_1 au gain du filtre près. L'extraction de X_2 se fait de manière similaire, mais en multipliant x(t) par Q_2(t) = sin(Ω_(ref)t).
Figure A: Circuit électronique d'extraction des quadratures du signal x(t).
En pratique, on utilise un multiplieur pour effectuer la multiplication du signal x(t) et de la cosinusoïde Q1 ou sinusoïde Q2 de référence. La sortie de chaque mélangeur est filtrée par un filtre passe-bas du second ordre construit autour d'un amplificateur linéaire intégré rapide AD 845.
Le gain G du filtre à fréquence nulle vaut (R_3 + R_4)/(R_4). En pratique les résistances R_1 et R_2 sont égales, ainsi que les capacités C_1 et C_2. La figure ci-dessous montre le module de la fonction de transfert pour différents gains G. Pour les valeurs particulières G = 3 ± √2 du gain, on élimine les termes en ω^2 dans l'expression du module carré de H[jω] :
|H[jω]|^2 = (G^2)/(1 + (ω/(ω_0))^4)
où ω_0 est la pulsation de coupure égale à 1/R_1 C_1 fixée ici par la valeur des composants à environ 500 Hz. En pratique on utilise un gain légèrement supérieur au gain optimal G = 3 − √2 (le filtre est instable pour la solution G = 3 + √2 car H[jω] possède des pôles de partie réelle positive), afin d'augmenter sensiblement la plage de fréquence où la réponse
du filtre est plate. Pour la valeur G = 1, 65 on obtient une fonction de transfert très plate, avec une variation relative d'amplitude inférieure à 0.5 % jusqu'à des pulsations de 0, 46 × ω_0 mais qui conserve une pente raide au delà de la fréquence de coupure.
Figure B: Module carré normalisé de la fonction de transfert du filtre pour différentes valeurs de G.
13.Quelle est l'utilité des résistances de valeur 50Ω disposées en entrée et en sortie du circuit de la Figure A du document scientifique 1 ? Pourquoi utiliser une telle valeur et quels problèmes entraînerait leur absence ?
14.Pourquoi cherche-t-on à obtenir la fonction |H[jω]| la plus plate possible en fréquence ? Quel autre paramètre non représenté sur la figure B du document scientifique 1 devrait-on contrôler pour s'assurer de cet aspect ?
15.En ne considérant que la partie du circuit représentée sur la figure 2, calculer la fonction de transfert H[jω] = V_s/V_e du filtre. On exprimera le résultat en fonction uniquement de G, ω_0 = 1/RC et ω.
16.Pourquoi le fait que H[jω] possède un pôle (une annulation du dénominateur) dont la partie réelle est positive, entraîne une instabilité du filtre ? Montrer que c'est le cas si le gain est supérieur à 3.
17.Compte tenu de la façon dont sont extraites les quadratures (document scientifique 1), donner l'expression de X_1(t) et X_2(t) en fonction de x(t) et Ω_(ref) en considérant que la pulsation Ω_(ref)
Figure 2: Circuit électronique du filtre.
est proche de Ω_M. En déduire l'expression de X_1(t) et X_2(t) dans le cas d'un mouvement faiblement amorti ( Γ petit devant Ω_M ) du type :
x(t) = x_0 cos(Ω_M t)exp[ − Γ/2t]
On ne conservera que les composantes lentement variables dans l'expression des quadratures.
Document scientifique 2 : Extrait de thèse
Ring-down peut se traduire par tintement de cloche : le son s'atténue lentement après une excitation brève.
La mesure du facteur de qualité par ring-down consiste à appliquer sur la membrane une excitation mécanique grâce, par exemple, à un élément piézo-électrique placé en contact avec la membrane. L'excitation produit une vibration monochromatique d'amplitude beaucoup plus importante que le mouvement thermique. L'excitation est alors brusquement stoppée et on mesure de manière optique les déplacements de la membrane. Les quadratures X_1 et X_2 sont extraites par démodulation et on suit l'évolution dans l'espace complexe de l'amplitude complexe A(t) définie par :
A(t) = X_1(t) + iX_2(t)
La figure ci-dessus présente l'évolution du module de A (figure (a)), ainsi que la trajectoire de A dans le plan complexe (figure (b)). La figure (c) présente les facteurs de qualité Q = Ω_M/Γ des premiers modes mécaniques de la membrane en fonction de leur fréquence.
18.Expliquer l'allure de l'évolution de |A| et celle de la trajectoire de A dans le plan complexe présentées dans le document scientifique 2.
3 Modes propres de la membrane
On étudie dans cette partie les caractéristiques mécaniques des modes de vibration de la membrane.
Profil spatial et fréquence des modes propres
On considère une membrane fine, carrée de coté a et d'épaisseur h très petite devant a. On suppose d'autre part que la membrane est maintenue rigidement sur tous ses bords. Elle est de plus soumise à une forte tension uniformément dans les directions x et y dont on va estimer les effets.
On considère le morceau de membrane de forme parallélépipèdique de taille L_x par L_y et d'épaisseur h représenté sur la Figure 3. Sa surface horizontale est notée S. Sa surface latérale de droite Σ, grisée sur la Figure 3, subit une force extérieure de tension T⃗ normale à Σ et dirigée vers l'extérieur.
Figure 3: Morceau de membrane
19.Lorsque le morceau de membrane subit une petite élongation dans la direction x, montrer que son énergie potentielle élastique augmente d'une quantité hσ dS, où σ est une constante que l'on exprimera en fonction de T, L_y et h.
La constante σ est appelée tension de la membrane et s'exprime en pascal. Les membranes utilisées ont généralement des tensions de l'ordre du GPa à la limite de rupture du matériau.
On considère dans cette partie que la membrane est suffisamment fine pour négliger ce qui se passe dans son épaisseur. La membrane au repos se situe dans le plan horizontal xy et l'on note w(x, y, t) le déplacement vertical de la membrane par rapport à sa position au repos (voir Figure 4). La fonction w s'annule en x = ± a/2 et y = ± a/2.
On considère dans la suite que la déformation w reste petite devant les dimensions de la membrane.
20.On considère la coupe de la membrane dans le plan xz représentée à droite sur la Figure 4, subissant le déplacement w(x, 0, t). Montrer que l'élément de membrane de cette coupe compris entre x et x + dx est étiré dans la direction x par rapport à sa position au repos d'une longueur dℓ : dℓ = 1/2((∂w)/(∂x))^2 dx
Figure 4: A gauche, membrane au repos. Au milieu, membrane sous l'effet d'un déplacement. A gauche coupe de la membrane dans le plan xz.
21.En déduire que l'augmentation V d'énergie potentielle élastique de la membrane est V = (σh)/2∬[((∂w)/(∂x))^2 + ((∂w)/(∂y))^2]dx dy
22.Écrire de la même façon l'énergie cinétique K de la membrane. On fera intervenir la masse volumique de la membrane ρ et la dérivée temporelle de w.
On cherche des solutions sous la forme :
w(x, y, t) = ∑_(n = 1)^∞∑_(m = 1)^∞q_(nm)(t)ξ_(nm)(x, y)
23.Pourquoi une telle décomposition est-elle toujours possible quelle que soit la fonction w ? On s'interrogera en particulier sur l'utilisation des fonctions sinus et sur les arguments de ces fonctions.
Les coefficients q_(mn) peuvent être considérés comme des coordonnées généralisées et permettent un traitement de la dynamique du système grâce à la mécanique lagrangienne. Pour ce système, le lagrangien L est défini comme la différence entre l'énergie cinétique K et l'énergie potentielle V :
L = K − V
24.Montrer que le lagrangien du système en fonction des coordonnées généralisées {q_(mn)} et de leurs dérivées temporelles {q˙_(mn)} se met sous la forme : L({q_(mn)}, {q˙_(mn)}) = A_0∑_(n = 1)^∞∑_(m = 1)^∞q˙_(nm)^2 − B_0∑_(n = 1)^∞∑_(m = 1)^∞q_(nm)^2(n^2 + m^2)
avec des constantes A_0 et B_0 que l'on exprimera en fonction de σ, ρ, a et h.
Dans ce formalisme les coordonnées généralisées satisfont les équations de Lagrange :
d/(dt)(∂L)/(∂q˙_(mn)) = (∂L)/(∂q_(mn))
Montrer que chaque coordonnée q_(nm)(t) satisfait une équation différentielle du second ordre.
En déduire que la membrane possède une infinité de modes propres de vibration, indexés par les entiers n et m non nuls et dont on exprimera les fréquences de résonance f_(nm) en fonction A_0, B_0, n et m puis de a, σ, ρ, n et m.
La masse M_(nm) du mode n, m représente la masse qui est effectivement mise en mouvement par le mode. Si l'on considère que seul le mode n, m est excité, l'énergie cinétique de la membrane s'écrit :
K = 1/2M_(nm)q˙_(mn)^2(t)
Montrer qu'avec cette définition tous les modes de la membrane ont la même masse que l'on précisera.
Document scientifique 3 : Extrait de thèse
The frequencies f_(nn) are non degenerate and the modes node lines draw a rectangular grid, with equations y_i = − a/2 + ia/n and x_j = − a/2 + ja/n for (i, j) ∈ [ [0, n] ]. The mode amplitude reads:
ξ ∝ sin((nπ)/a(x + a/2))sin((nπ)/a(y + a/2))
On the other hand, due to the membrane symmetry, the frequencies f_(mn), with m ≠ n are degenerate. The mode amplitude is:
where A and B are two arbitrary real constants. The frequencies and mode shapes obtained with those formulas show a remarkable agreement with FEM (Finite Element Modelisation) simulations, as shown in figure below:
(a)mode shapes for the first 6 modes of a square membrane. For each mode, the simulated mode shape is on the left, while the mode shape given by the analytics formula is on the right.
(b) Frequencies of the first 20 modes of a square membrane of width a = 1 mm, thickness h = 100 nm and internal stress σ = 1GPa. The simulated frequencies are presented as dots, while the straight line corresponds to the formula.
28.Le document scientifique 3 présente les profils des modes de plus basses fréquences d'une membrane carrée. Les modes de la ligne (n = 2, m = 1) ne semblent pas respecter les symétries de la membrane. Expliquer ce phénomène.
29.Les coefficients réels A et B (équation 3.B) ont été choisis égaux à 4 et 5 pour définir le premier mode (n = 2, m = 1) de la figure du document scientifique 3. Quels sont les coefficients A et B (à un facteur de normalisation près) du deuxième mode ?
Pertes mécaniques par rayonnement acoustique
Il existe divers canaux de perte d'énergie pour l'oscillateur. Le plus évident est dû au rayonnement acoustique dans l'air entourant la membrane.
On considère l'air comme un gaz parfait de pression P(r⃗, t), de masse volumique ρ_g(r⃗, t) et de vitesse eulérienne v⃗(r⃗, t).
30.Rappeler l'équation de conservation de la masse dans le fluide qui lie ρ_g et v⃗.
L'équation d'Euler dans le fluide s'écrit :
ρ_g(∂v⃗)/(∂t) + ρ_g(v⃗ ⋅ grad)v⃗ = − gradP
On ne s'intéresse qu'aux petites variations des grandeurs P, ρ_g et v⃗ autour de leur valeur moyenne respective P_0, ρ_0 et v⃗_0 = 0→ (le fluide étant au repos) :
{P = P_0 + P_a; ρ_g = ρ_0 + ρ_a; v⃗ = v⃗_a
31.Réécrire les équations de conservation de la masse et d'Euler (équation 22) au premier ordre en P_a, ρ_a et v⃗_a.
32.Dans le cas d'un déplacement de l'air isentropique, pourquoi la pression ne dépend-elle que de la variable ρ_g ?
On introduit la constante c_0 définie par la dérivée de la pression par rapport à la masse volumique à entropie constante :
c_0^2 = (∂P)/(∂ρ_g)|_(S, P = P_0, ρ_g = ρ_0)
33.Quelle est la dimension de la constante c_0. Exprimer c_0 en fonction de P_0, ρ_0 et de l'indice adiabatique γ appelé également coefficient de Laplace.
34.Écrire l'équation de propagation pour la pression acoustique P_a.
35.Donner pour P_a la forme générale d'une onde plane (pas nécessairement harmonique), solution de l'équation de propagation, se propageant dans une direction quelconque orientée par le vecteur unitaire n⃗. Préciser la vitesse de propagation de l'onde. Donner également le champ de vitesse v⃗_a de cette onde.
36.En repartant notamment de l'équation d'Euler linéarisée trouvée à la question 31, établir que : d/(dt)[1/2ρ_0 v_a^2 + 1/(2ρ_0 c_0^2)P_a^2] = − divI⃗
où I⃗ est un vecteur que l'on exprimera en fonction de P_a et v⃗_a.
37.Que représente l'équation 25 dans son ensemble et donner la signification physique de chacun de ses termes.
38.Dans le cas d'une onde plane se propageant dans la direction n⃗, montrer que le vecteur I⃗ s'écrit : I⃗ = c_0 ρ_0 v_a^2 n⃗
On veut calculer les pertes d'énergie du mode fondamental de la membrane par radiation acoustique. Pour ce mode la déformation w(x, y, t) de la membrane s'écrit w(x, y, t) = w_o sin(π/a(x + a/2))sin(π/a(y + a/2))cos(Ω_M t)
où w_0 est l'amplitude du déplacement de la membrane en son centre.
39.A quelle condition sur la fréquence et sur les dimensions de la membrane, peut-on négliger les effets de diffraction sur l'onde acoustique émise ? Montrer par une application numérique que le mode fondamental de la membrane décrite dans le document scientifique 3 (avec a = 1 mm et Ω_M = 2π × 400kHz ), placée dans l'air à pression et température ambiantes, est à la limite de cette condition.
On ne tiendra pas compte des effets de diffraction et on considérera que chaque élément de surface de la membrane rayonne une onde plane.
40.En écrivant la condition aux limites de l'onde au niveau de la surface de la membrane et en intégrant sur les deux faces de la membrane, écrire la puissance acoustique moyenne rayonnée par le mode fondamental en fonction de w_0, Ω_M, c_0, ρ_0, et a.
Le facteur de qualité Q d'un oscillateur harmonique faiblement amorti est défini par
Q = 2πE/(ΔE)
où E est l'énergie totale de l'oscillateur (égale à l'énergie cinétique maximale sur une période par exemple) et ΔE l'énergie perdue lors d'une oscillation.
41.En considérant que l'amortissement de la membrane ne provient que de la puissance perdue par rayonnement acoustique, exprimer le facteur de qualité du mode fondamental dans l'air en fonction de Ω_M, h, ρ, c_0 et ρ_0.
42.Montrer qu'à pression ambiante le facteur de qualité du mode fondamental n'excède pas quelques unités.
Pertes mécaniques intrinsèques
Lors de la flexion de la membrane, une partie de l'énergie élastique est dissipée dans le matériau par des mécanismes internes. Pour estimer ces pertes, il est nécessaire d'étudier les allongements et compressions des différentes couches dans l'épaisseur de la membrane.
On considère que l'allongement du matériau dans une direction n'entraîne pas de compression dans les directions perpendiculaires (ce qui revient à annuler le module de Poisson ν du matériau). Ainsi, les déformations dans les directions x et y seront traitées de manière indépendante.
Comme on souhaite évaluer uniquement l'énergie due à la flexion, on peut considérer que la tension σ est nulle. La surface centrale est alors non tendue et non allongée au premier ordre.
Dans un premier temps, on ne considère qu'une bande de membrane à l'ordonnée y = y_0 de largeur d y (bande grisée sur le schéma de gauche de la Figure 5).
Cette bande est décomposée en une superposition de couches horizontales d'épaisseur du repérées par la coordonnée u variant de − h/2 à h/2. L'élément de volume dx dy du dans la membrane possède, lorsqu'il est étiré dans la direction x, une raideur effective κ telle que :
κ = 1/(dx)Y dy du
où la constante Y (positive) est le module d'élasticité du matériau, appelé encore module d'Young.
Figure 5: À gauche : En grisé, bande de membrane en y = y_0 de largeur dy. À droite la même bande vue en coupe, où un élément infinitésimal de longueur dx est mis en évidence.
43.Justifier la dépendance de la raideur κ en dx, dy et du, en particulier pourquoi les quantités dy et du apparaissent au numérateur et dx au dénominateur. On pourra s'appuyer sur une analogie avec des ressorts placés en parallèle ou en série en considérant par exemple un élément de volume deux fois plus long ou deux fois plus large ou épais.
On note θ_x l'angle que fait la normale à la surface centrale de la membrane en x avec l'axe vertical (Figure 5 à droite). Cet angle est directement relié au déplacement de la w de la membrane :
θ_x(t) = (∂w)/(∂x)(x, y_0, t)
On rappelle que la surface centrale de la membrane (u = 0) n'est pas étirée. Dans le cas particulier de l'élément représenté sur la Figure 5 à droite, l'élément dx dy du est allongé pour des u positifs et comprimé pour des u négatifs.
44.Exprimer l'énergie potentielle élastique de l'élément de membrane dx dy du en fonction de u, Y, dx, dy, du, et dθ_x = θ_(x + dx) − θ_x.
45.Exprimer l'angle dθ_x grâce notamment au déplacement w, puis en intégrant sur l'épaisseur de la membrane, exprimer l'énergie potentielle élastique de l'élément de volume h dx dy de la membrane (élément mis en évidence sur la figure 5 à droite) en fonction de Y, h, dx, dy, et w.
46.En considérant désormais les déformations dans les directions x et y de la membrane montrer que l'énergie potentielle élastique totale due à la flexion se met sous la forme : E_(flex) = D∫_(− a/2)^(a/2)∫_(− a/2)^(a/2)[((∂^2 w)/(∂x^2))^2 + ((∂^2 w)/(∂y^2))^2]dx dy
où D est une constante que l'on exprimera en fonction de Y et de h.
Le taux d'énergie perdue ne dépend que des propriétés du matériau et se modélise en supposant qu'à chaque période d'oscillation une fraction Φ de l'énergie moyenne de flexion ⟨E_(flex)⟩ est dissipée
dans le matériau. Φ est un nombre sans dimension appelé angle de perte généralement petit devant 1.
47.En utilisant la définition du facteur de qualité (équation 28), la masse effective des modes de vibration (question 27) et leur fréquence de résonance (question 26), montrer que le facteur de qualité du mode n, m limité par les pertes intrinsèques du matériau vaut : Q_(int) = (48)/π(a^2 σ)/(h^2 YΦ)(n^2 + m^2)/(n^4 + m^4)
48.Pour une membrane fabriquée dans un matériau donné (Module d'Young Y et angle de perte Φ fixés), quel design (géométrie, tension) est le plus favorable pour obtenir un facteur de qualité important ?
4 Une membrane très réfléchissante
Dans cette partie, on étudie la possibilité de rendre une membrane fine, constituée d'un matériau diélectrique, extrêmement réfléchissante pour certaines longueurs d'onde de la lumière. Il faut pour cela considérer le champ électromagnétique à l'intérieur de la membrane ainsi que les réflexions et transmissions de ce champ aux deux interfaces de la membrane.
Interface diélectrique
Dans le matériau diélectrique que l'on considère, le vecteur polarisation électrique P⃗ est relié au champ électrique E⃗ par la relation :
P⃗(r⃗, t) = ε_0 χ_e E⃗(r⃗, t)
49.Nommer la constante χ_e et donner son unité.
50.Quelles hypothèses doit-on faire sur le matériau diélectrique pour que la relation 33 soit valide ?
51.Citer deux exemples de matériaux vérifiant les hypothèses précédentes, et deux exemples de matériaux ne les vérifiant pas en indiquant quelles propriétés font défaut.
Le matériau constituant la membrane est un isolant non chargé et non magnétique.
52.Écrire les quatre équations de Maxwell dans le matériau, liant les champs électrique E⃗, magnétique B⃗ et induction électrique D⃗ = ε_0 E⃗ + P⃗.
53.A partir des équations précédentes, écrire l'équation de propagation vérifiée par E⃗ d'une part et par B⃗ d'autre part.
54.On considère une solution sous forme d'onde plane progressive harmonique de la forme : E⃗(r⃗, t) = E⃗_0 exp(iωt − ik⃗ ⋅ r⃗); B⃗(r⃗, t) = B⃗_0 exp(iωt − ik⃗ ⋅ r⃗)
Donner la relation de dispersion liant |k⃗| et ω, ainsi que la relation reliant les amplitudes E⃗_0 et B⃗_0.
55.Pourquoi parle-t-on d'onde transverse ?
On considère désormais ce qui se passe à l'interface entre deux milieux diélectriques caractérisés par des coefficients χ_(e1) et χ_(e2). Les deux milieux sont isolants et non magnétiques (pas de courants surfaciques libres ou liés au niveau de l'interface) et non chargés (pas de charges surfaciques libres au niveau de l'interface).
56.Quelles sont les composantes des champs E⃗, B⃗ et D⃗ qui sont continues au passage de l'interface ? Donner alors les relations de continuité sur les composantes des champs E⃗ et B⃗. On introduira les constantes diélectriques relatives sans dimension ε_1 et ε_2 des milieux 1 et 2, constantes que l'on définira.
On s'intéresse à une onde incidente venant du milieu 1 en incidence normale d'amplitude E_i et on cherche à déterminer les amplitudes E_r de l'onde réfléchie et E_t de l'onde transmise.
57.En utilisant les relations de continuité trouvées à la question précédente, calculer les coefficients de transmission t et de réflexion r en amplitude pour le champ électrique. On les exprimera en fonction des indices optiques n_1 et n_2 des milieux 1 et 2 que l'on définira.
58.Quelle relation entre r, t et les indices optiques n_1 et n_2 traduit la conservation de l'énergie électromagnétique ? Montrer que les expressions de r et t trouvées à la question précédente satisfont cette relation.
Membrane simple et membrane à cristaux photoniques
Dans ce qui suit, on s'intéresse tout d'abord aux propriétés de réflexion d'une membrane simple en fonction de son épaisseur, puis on étudie la possibilité d'augmenter le coefficient de réflexion grâce à la gravure d'un réseau de trous dans la membrane, appelé cristal photonique.
On considère une membrane fine d'épaisseur h dont les dimensions latérales sont supposées infinies. L'indice optique de la membrane est noté n_m > 1. De part et d'autre de cette membrane, le milieu
est le vide. Au niveau d'une interface, le coefficient de transmission en amplitude du vide vers le diélectrique est noté t, celui du diélectrique vers le vide t^′, le coefficient de réflexion en amplitude vide vers vide est noté r et celui diélectrique vers diélectrique vaut − r. Les résultats des questions précédentes montrent que les coefficients r, t et t^′ sont réels et vérifient :
− 1 < r < 0; 0 < t < 1; tt^′ + r^2 = 1
On pourra utiliser ces propriétés sans démonstration dans la suite.
Une onde plane progressive harmonique de la forme :
E⃗_i(r⃗, t) = E_i exp(iωt − ikz)u_x^(→−)
d'amplitude E_i, polarisée selon l'axe x, venant des z négatifs et se propageant vers les z croissants, est envoyée sur la membrane dans la zone 1 (voir Figure 6).
Figure 6: Membrane diélectrique vue de coté (zone 2) entourée de vide (zone 1 et 3).
On note E^+(respectivement E^−) l'amplitude du champ électrique dans la zone 2 se propageant selon les z croissants (respectivement décroissant), E_r l'amplitude du champ réfléchi par la membrane dans la zone 1 et E_t celle du champ transmis dans la zone 3.
59.En écrivant les relations de continuité au niveau des interfaces en z = 0 et z = h ainsi que la propagation des champs dans l'épaisseur de la membrane, trouver le coefficient de réflexion en amplitude r_m = E_r/E_i de la membrane et son coefficient de transmission en amplitude t_m = E_t/E_i. On exprimera ces coefficients en fonction de r, k, h et n_m.
60.En déduire que, lorsque l'on fait varier l'épaisseur de la membrane, le module |t_m| du coefficient de transmission et le module |r_m| du coefficient de réflexion de la membrane présentent des maxima et des minima que l'on exprimera en fonction du coefficient r. Exprimer en fonction de la longueur d'onde λ et n_m les valeurs de h pour lesquelles ces maxima et minima sont atteints. Tracer l'allure du module de r_m et t_m.
Dans le cas d'une membrane en nitrure de silicium d'indice n_m = 2, le coefficient de réflexion total de la membrane |r_m| est ainsi limité à 0,6 ce qui est, dans la plupart des expériences d'optomécanique, très insuffisant. Pour améliorer la réflectivité de la membrane, on a recours à un procédé de gravure qui transforme la membrane en un réseau appelé cristal photonique.
On étudie dans la suite le cas d'une membrane dans laquelle ont été percées, sur toute son épaisseur, de longues tranchées orientées selon l'axe y et régulièrement espacées selon l'axe x (voir Figure 7). Le problème reste donc invariant selon l'axe y et devient périodique selon x. La périodicité spatiale sera notée Λ.
Pour obtenir une réflectivité quasiment parfaite de la membrane, le principe est de créer par diffraction des modes guidés se propageant selon + x et − x à l'intérieur de la membrane. En utilisant une interférence destructive entre ces modes et l'onde transmise, on peut obtenir une situation où toute l'énergie est réfléchie par la membrane.
Figure 7: A gauche : Image au microscope d'une membrane carrée vue de haut avec en son centre un cristal photonique. A droite : schéma de la membrane vue sur la tranche.
Il faut tout d'abord s'assurer que l'énergie apportée par l'onde incidente ne soit pas perdue dans des modes diffractés d'ordre non nul dans les zones 1 et 3 à l'extérieur de la membrane.
61.On considère que l'onde incidente arrive sur la membrane avec un angle θ_(inc) orienté par rapport à l'axe Oz. Faire un schéma représentant le faisceau incident et les faisceaux diffractés dans les différents ordres m réfléchis et transmis par la membrane.
62.En écrivant la différence de marche entre les rayons diffractés par deux fentes consécutives, retrouver les expressions des angles θ_m^R et θ_m^T des faisceaux diffractés dans l'ordre m réfléchis (zone 1) et transmis (zone 3) par la membrane en fonction de λ, Λ, m et θ_(inc).
On note η le taux de remplissage qui vaut 1 lorsque la membrane est pleine (sans tranchées) et tend vers 0 pour une membrane complètement creuse (voir Figure 8). Les ondes se propageant dans la zone 2 voient donc un indice optique moyen n_(eff) = 1 + η(n_m − 1).
Figure 8: Membrane à cristal photonique avec un taux de remplissage η proche de 0 à gauche, égale à 0,5 au milieu et proche de 1 à droite.
63.Dans le cas d'une onde arrivant en incidence normale θ_(inc) = 0, donner les conditions sur λ, Λ et n_(eff) pour n'avoir aucun ordre diffracté autre que l'ordre 0 dans les zones 1 et 3 et qu'il y ait au moins un ordre non nul diffracté dans la membrane (zone 2).
On se place désormais dans le cadre de la condition de la question précédente en supposant que dans la membrane, seul un mode guidé existe. Sans perte de généralité, on ne s'intéresse qu'à une seule polarisation du champ qui sera décrit par des quantités scalaires. L'amplitude du champ du mode guidé dans la zone 2 et celles des champs incident, réfléchi et transmis dans les zones 1 et 3 sont notées respectivement :
où φ représente la phase du couplage.
La résonance du mode guidé étant très fine, on peut supposer qu'au voisinage d'une résonance, les coefficients r_m et t_m ainsi que φ sont constants.
65.Écrire les coefficients de réflexion r_c et transmission t_c de la membrane à cristal photonique en fonction de r_m, t_m, φ, γ, ω et ω_0.
On se place dans le cas particulier où le coefficient t_m vaut 1 et r_m = 0.
66.En utilisant la conservation de l'énergie montrer que le coefficient e^(iφ) vaut nécessairement -1. Sur le même graphe, tracer l'allure des modules des coefficients r_c et t_c en fonction de ω. On se placera dans le cas où γ≪ω_0.
On se place maintenant dans la situation inverse où le coefficient r_m est maximal égal à 0,6 et t_m égal à 0, 8i.
Dans ce cas e^(iφ) ≠ − 1 et les trajectoires de r_c et t_c dans le plan complexe sont représentées sur la Figure 9. Lorsque ω varie de − ∞ à + ∞ les coefficients r_c et t_c décrivent un cercle de rayon 1/2 parcouru dans le sens anti-trigonométrique partant respectivement de r_m et t_m et y revenant.
Figure 9: Évolution des coefficients de transmission t_c et réflexion r_c dans le plan complexe en fonction de ω. Les points sur les trajectoires circulaires sont atteints pour des valeurs de ω régulièrement espacées d'un écart ω_0/100.
67.En utilisant la figure 9 tracer sur le même graphe l'allure de |r_c| et |t_c| lorsque ω varie autour de la résonance ω_0.
Module des coefficients de transmission et de réflexion d'une membrane à cristaux photoniques de fort indice n_m = 4. La ligne en pointillé représente ces mêmes coefficients pour une membrane non structurée, d'épaisseur h.
68.À partir des résultats obtenus dans cette partie expliquer l'allure des coefficients de transmission et de réflexion présentés dans le document scientifique 4, et conclure sur la possibilité d'obtenir une membrane hautement réfléchissante.
Sujet proche avec corrigéX ENS Physique MP 2025X-ENS · 2025Corrigé
Sujet proche avec corrigéBanque PT Physique A PT 2025Banque PT · 2025Corrigé
Sujet proche avec corrigéCCINP Physique MP 2025CCINP · 2025Corrigé
