Composition de physique de l'agrégation externe : déviation de rayons lumineux et acoustiques dans un milieu inhomogène
Afficher ou masquer la section
La composition de physique 2023 traite des phénomènes de déviation de rayons, lumineux ou acoustiques, dans un milieu inhomogène. Elle relie optique géométrique, ondes acoustiques, électromagnétisme (équation eikonale), thermodynamique, optique ondulatoire interférométrique, traitement numérique de données puis mécanique relativiste appliquée à la déviation de la lumière par une masse et à la détection d'objets compacts.
1Partie I.A : optique géométriqueRappels sur les lois de Snell-Descartes et le phénomène de réflexion totale.
2Partie I.B : onde acoustiqueAnalogie entre la déviation d'un rayon lumineux et celle d'un rayon acoustique.
3Partie I.C : électromagnétismeDémonstration de l'équation eikonale dans un milieu à gradient d'indice.
4Partie II.A : thermodynamiqueCalcul du gradient de température au-dessus d'une plaque chauffée.
5Partie II.B : optique ondulatoireMesure interférométrique du gradient d'indice à l'aide d'un interféromètre de Mach-Zehnder.
6Partie II.C : traitement numériqueAnalyse statistique des résultats expérimentaux à l'aide d'un script Python.
7Partie III : mécanique relativisteAnalyse relativiste de la déviation de la lumière par une masse (III.A) puis application à la détection d'objets compacts non visibles, les MACHO (III.B).
Difficile. Le rapport note des déficiences inacceptables dans la connaissance élémentaire du cours, et signale que la partie III.B n'a presque pas été abordée bien qu'elle représente une part importante du barème, les questions 44 à 52 ayant été très peu traitées.
Ce qu'a observé le jury
5 erreurs relevées
Confusion entre atténuation et absorption · Confusion entre réfraction limite et réflexion totale · Signification du vecteur de Poynting approximative
Afficher ou masquer la section
Le jury a eu le plaisir de lire plusieurs copies montrant une très bonne maîtrise de la physique, mais d'autres révèlent un niveau scientifique insuffisant, avec des déficiences dans la connaissance élémentaire du cours comme les équations de Maxwell. Les candidats ont globalement mieux traité la partie I, qui représente 42 % du barème pour 57 % des points obtenus, que la partie III, qui pèse 38 % du barème pour seulement 23 % des points obtenus.
Les erreurs les plus sanctionnées
1
Confusion entre atténuation et absorptionQ1
Les candidats confondent atténuation et absorption, alors qu'un indice complexe n'implique pas forcément un milieu absorbant, comme dans un métal à basse fréquence.
2
Confusion entre réfraction limite et réflexion totaleQ3
Des confusions entre réfraction limite et réflexion totale conduisent à des relations incorrectes comme un sinus supérieur à 1.
3
Signification du vecteur de Poynting approximativeQ10
La signification physique du vecteur de Poynting est souvent décrite de manière très approximative, les candidats confondant puissance, puissance surfacique et énergie.
4
Interfrange confondu avec franges rectilignesQ24
Trop de candidats confondent franges rectilignes et interfrange constant, et peu voient le lien entre interfrange et gradient d'indice.
5
Vitesse de libération avec un facteur racine de 2 erronéQ40
La vitesse de libération est trop souvent donnée avec une erreur de facteur racine de 2 ; il faut savoir redémontrer ce résultat rapidement à l'aide de la conservation de l'énergie.
Ce qui a été bien réussi
La première partie a été la plus abordée, avec de bons résultats sur les strictes questions de restitution de connaissances.
La deuxième partie, relativement peu calculatoire, a été globalement correctement traitée.
La partie III.A, sur la déviation relativiste de la lumière, a été traitée par la majorité des candidats.
Conseils du jury
Préciser systématiquement le système étudié, le référentiel d'étude et sa nature galiléenne ou non avant tout bilan de force ou d'énergie.
Vérifier l'homogénéité des expressions écrites et la cohérence mathématique, en distinguant vecteurs et scalaires.
Ne pas délaisser les questions ouvertes, jugées davantage sur la qualité de la démarche que sur l'exactitude du résultat.
Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.
Description
Sujet officiel Agrégation externe en physique, session 2023.
Ces sujets peuvent vous intéresser
Pas encore de corrigé pour ce sujet : voici des sujets proches corrigés.
Calculatrice autorisée selon les modalités de la circulaire du 17 juin 2021 publiée au BOEN du 29 juillet 2021.
L'usage de tout ouvrage de référence, de tout dictionnaire et de tout autre matériel électronique est rigoureusement interdit.
Il appartient au candidat de vérifier qu'il a reçu un sujet complet et correspondant à l'épreuve à laquelle il se présente.
Si vous repérez ce qui vous semble être une erreur d'énoncé, vous devez le signaler très lisiblement sur votre copie, en proposer la correction et poursuivre l'épreuve en conséquence. De même, si cela vous conduit à formuler une ou plusieurs hypothèses, vous devez la (ou les) mentionner explicitement.
NB : Conformément au principe d'anonymat, votre copie ne doit comporter aucun signe distinctif, tel que nom, signature, origine, etc. Si le travail qui vous est demandé consiste notamment en la rédaction d'un projet ou d'une note, vous devrez impérativement vous abstenir de la signer ou de l'identifier.
Le fait de rendre une copie blanche est éliminatoire
INFORMATION AUX CANDIDATS
Vous trouverez ci-après les codes nécessaires vous permettant de compléter les rubriques figurant en en-tête de votre copie
Ces codes doivent être reportés sur chacune des copies que vous remettrez.
Gradients d'indice : du phénomène de mirage aux applications modernes
L'analyse des déviations et déphasages subis par une onde électromagnétique est toujours riche d'enseignements sur le(s) milieu(x) qu'elle traverse. Ce problème en fournit quelques exemples.
On propose ici de s'intéresser tout d'abord à la modélisation de la propagation d'une onde dans un milieu inhomogène (partie I), puis à l'exploitation d'une expérience d'interférométrie mettant en jeu un gradient d'indice d'origine thermique (partie II), avant d'envisager enfin l'effet de mirage gravitationnel qui permet notamment aux astrophysiciens de détecter des masses non visibles dans l'univers (partie III).
Les trois parties de cette épreuve sont largement indépendantes entre elles ; il est néanmoins fortement recommandé de consacrer, en début d'épreuve, un temps raisonnable à la recherche de la partie I. Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être utilisé pour les questions ultérieures, même s'il n'a pas été démontré. La plus grande importance sera accordée à la qualité de la rédaction et de la présentation; les réponses aux questions qualitatives devront être claires et argumentées.
Constantes et données physiques :
Célérité de la lumière dans le vide :
c = 3, 00 × 10^8 m ⋅ s^(− 1)
Constante des gaz parfaits :
R = 8, 314 J ⋅ K^(− 1) ⋅ mol^(− 1)
Masse molaire de l'air :
M_(air) = 29 g ⋅ mol^(− 1)
Constante de gravitation universelle :
G = 6, 67 × 10^(− 11) m^3 ⋅ kg^(− 1) ⋅ s^(− 2)
Masse du Soleil :
M_⊙ = 2, 0 × 10^(30) kg
Rayon du Soleil :
R_⊙ = 7, 0 × 10^8 m
Masse de la Terre :
M_⊕ = 6, 0 × 10^(24) kg
Rayon de la Terre :
R_⊕ = 6, 4 × 10^6 m
Parsec :
1pc = 3, 1 × 10^(16) m
Masse du proton :
m_p = 1, 7 × 10^(− 27) kg
Formulaire :
-Niveau d'intensité sonore (en dB) : I_(dB) = 10log(⟨Π_a⟩_t)/(Π_(ref)) où ⟨Π_a⟩_t désigne la puissance acoustique surfacique moyenne transportée par l'onde considérée et Π_(ref) = 10^(− 12) W ⋅ m^(− 2)
Dans tout le problème, les milieux considérés - qu'ils soient traversés par la lumière ou par une onde d'une autre nature - sont supposés linéaires, isotropes, transparents et non dispersifs. Leur indice de réfraction, ou indice optique, au point M est noté indifféremment n(M) ou n(r⃗).
Q1. Expliquer la signification de l'hypothèse de milieu transparent et isotrope, puis rappeler la définition de l'indice optique n d'un tel milieu.
I. Propagation d'une onde dans un milieu inhomogène
I.A - Marche d'un rayon lumineux à travers un milieu stratifié
Dans le cadre du modèle géométrique de la lumière, la trajectoire suivie par l'énergie lumineuse est représentée par une courbe géométrique C appelée rayon lumineux. On propose ici de construire géométriquement la marche d'un rayon lumineux au sein d'un milieu inhomogène stratifié, constitué de plusieurs couches homogènes, horizontales, de même épaisseur et contigües (cf. Figure 1). Chaque couche horizontale est repérée par un entier i(i ∈ ℕ^∗) et caractérisée par son indice optique n_i supposé uniforme. On note α_i l'angle que forme le rayon lumineux C avec l'horizontale au sein de la i-ième strate.
Figure 1 - Schéma-modèle du milieu stratifié étudié.
Q2. Énoncer les lois de la réfraction qui permettent de construire la marche d'un rayon lumineux au sein du milieu stratifié. En déduire une relation entre les couples (n_1, α_1) et (n_i, α_i).
Q3. Préciser les conditions dans lesquelles il est possible d'observer un phénomène de réflexion totale à l'interface entre deux strates successives.
Q4. Reproduire schématiquement la Figure 1 sur la copie, puis représenter la marche du rayon lumineux pénétrant dans le milieu au point A_1 en formant l'angle α_1 avec l'horizontale. Pour réaliser cette construction, on supposera que la suite (n_i)_(i ∈ ℕ^∗) des indices optiques est strictement décroissante; les strates sont infinies dans les directions horizontales.
I.B - Transposition dans le domaine des ondes acoustiques
Dans l'article intitulé Mirages acoustiques, écrit par Jean-Michel Courty et Édouard Kierlik ^1, on lit que :
[… ] le son est dévié dans un milieu où sa vitesse de propagation n'est pas uniforme : les trajectoires des ondes sonores s'incurvent vers les zones où la vitesse de propagation du son est la plus faible. Ce phénomène est nommé réfraction; en dehors du vent, deux grandeurs influent aussi sur la réfraction du son : la pression et la température. La vitesse du son croît d'environ 0,6 mètre par seconde et par degré Celsius : elle dépend de l'altitude puisque la température change avec cette dernière. Généralement, l'air se refroidit à mesure que l'on s'élève, et la vitesse du son est plus faible en altitude que près du sol. La situation est alors analogue à celle que l'on observe en parlant contre le vent : le son est dévié vers le haut. Cet effet est amplifié en cas d'orage où l'air au voisinage du sol est très chaud, la température diminuant fortement avec l'altitude. La réfraction est alors si importante que l'on n'entend pas le tonnerre d'orages qui éclatent à seulement quelques kilomètres de distance : tout se passe comme si l'on se trouvait dans une zone d'« ombre sonore ». L'effet inverse se produit lorsque l'air au sol est plus froid qu'en altitude : par les nuits froides d'hiver, une Smart qui traverse la campagne rugit comme une Ferrari ^2 !
Q5. En s'appuyant sur l'extrait ci-dessus et sur les résultats de la partie I.A, comparer le sens de courbure de la trajectoire des ondes sonores à celui des rayons lumineux dans un milieu inhomogène.
Q6. Construire, par analyse dimensionnelle, l'expression de la célérité du son dans un fluide en fonction de sa masse volumique au repos μ_0 et de sa compressibilité isentropique χ_S (définie par χ_S = 1/μ((∂μ)/(∂P))_S, où P désigne la pression du fluide et μ sa masse volumique).
Q7. Mettre en place un modèle simple qui permet de justifier numériquement l'affirmation selon laquelle « la vitesse du son [dans l'air] croît d'environ 0,6 mètre par seconde et par degré Celsius ». Le candidat sera libre d'introduire tout paramètre physique lui paraissant pertinent et en proposera, si cela s'avère utile, une valeur numérique.
Q8. Réaliser un schéma illustrant la dernière phrase de l'extrait : « par les nuits froides d'hiver, une Smart qui traverse la campagne rugit comme une Ferrari ». Accompagner le schéma d'une légende explicative, constituée d'une ou deux phrases.
En s'appuyant sur des mesures réalisées par la presse spécialisée lors d'essais de véhicules, on peut estimer qu'une Smart roulant à 90 km/h engendre un niveau d'intensité sonore de 65 dB
en moyenne, alors qu'une Ferrari est associée à un niveau d'intensité sonore de 90 dB dans des conditions similaires.
Q9. Exploiter ces valeurs numériques pour mettre en doute la métaphore finale proposée par les auteurs de l'article : « par les nuits froides d'hiver, une Smart qui traverse la campagne rugit comme une Ferrari! » Quel(s) autre(s) argument(s) pourrait-on invoquer pour continuer à nuancer la comparaison entre les sons produits par les deux véhicules?
I.C - Équation eikonale
Le temps de cette sous-partie, on adopte le modèle ondulatoire vectoriel de la lumière. Selon ce modèle, les rayons lumineux correspondent aux lignes de champ du vecteur de Poynting moyen ⟨R⃗⟩_t associé au champ électromagnétique. Le milieu diélectrique traversé est supposé linéaire, transparent, isotrope et sans propriété magnétique. Son indice optique n(r⃗), réel et stationnaire, varie continûment dans l'espace; on suppose en outre qu'il ne dépend pas de la fréquence dans la gamme spectrale considérée. L'objectif de cette sous-partie est d'établir l'équation différentielle qui régit la trajectoire des rayons lumineux au sein d'un tel milieu.
Q10. Préciser la signification physique du vecteur de Poynting R⃗ et expliquer pourquoi on s'intéresse à sa valeur moyenne temporelle dans le cas de la lumière.
Électromagnétisme dans un milieu diélectrique
On note respectivement P⃗, ρ_p et j_p→ le vecteur polarisation, la densité de charges volumiques de polarisation et la densité de courants volumiques de polarisation dans le milieu diélectrique. On rappelle en outre que ces quantités sont liées entre elles par les relations
Q11. Rappeler la définition du vecteur polarisation P⃗ d'un milieu diélectrique, puis présenter qualitativement les notions de charges et de courants de polarisation.
Q12. Écrire les équations de Maxwell dans un milieu diélectrique vérifiant les hypothèses rappelées au début de la partie I.C. On introduira le vecteur déplacement électrique D⃗ dont on donnera l'expression et la dimension.
Des équations de Maxwell à l'équation eikonale
Dans le milieu inhomogène d'indice optique n(r⃗) réel et stationnaire, les champs E⃗ et D⃗ sont liés par
D⃗(r⃗, t) = ε_0 n^2(r⃗)E⃗(r⃗, t)
Pour traiter les questions suivantes, il est recommandé de se référer aux formules d'analyse vectorielle rappelées en introduction.
Q13. Montrer que l'équation de propagation vérifiée par le champ électrique E⃗(r⃗, t) dans un tel milieu s'écrit sous l'une des deux formes suivantes, dont on peut montrer qu'elles sont équivalentes ^3 :
On suppose que l'indice optique n du milieu varie sur une longueur caractéristique ℓ^∗ très grande devant la longueur d'onde du champ électromagnétique.
Q14. Par des considérations sur les ordres de grandeur mis en jeu, justifier que l'on puisse négliger le terme grad^(→−)[1/(n^2)E⃗ ⋅ grad^(→−)n^2] devant Δ⃗E⃗ dans l'équation de propagation.
L'onde étudiée est monochromatique, de pulsation ω, et on suppose que les variations spatiales de son amplitude sont négligeables à l'échelle considérée. On pose ainsi
où E⃗_0 est un vecteur constant, k_0 = ω/c et S(r⃗) est une fonction à valeurs réelles, appelée fonction eikonale.
Q15. Montrer que le champ magnétique B⃗ de l'onde est donné par
B⃗(r⃗, t) = 1/cgrad^(→−)S(r⃗) ∧ E⃗(r⃗, t)
Q16. Exprimer le vecteur de Poynting R⃗ de l'onde en fonction de μ_0, c, ‖E⃗‖ et S. En déduire que les rayons lumineux de l'optique géométrique correspondent aux lignes de champ de grad^(→−)S. Relier ce résultat au théorème de Malus-Dupin.
Q17. Montrer que l'équation de propagation impose à la fonction eikonale de vérifier
‖grad^(→−)S‖^2(r⃗) = n^2(r⃗)
Loi fondamentale de l'optique géométrique
On considère désormais un rayon lumineux C, pour lequel on note s l'abscisse curviligne du point courant M le long du rayon lumineux étudié et e_‖^(→−)le vecteur unitaire local tangent au rayon lumineux. Les résultats établis précédemment permettent d'aboutir à la loi fondamentale de l'optique géométrique
(d[ne_‖^(→−)])/(ds)(M) = grad^(→−)n(M)
Q18. Interpréter le résultat fourni par la loi fondamentale de l'optique géométrique dans le cas particulier d'un milieu homogène d'indice n uniforme.
Figure 2 - Dans une vidéo intitulée « Refractive Properties of Gradient Index Optics », un enseignant fait passer un pinceau laser à travers un morceau de plexiglas inhomogène pour montrer la courbure induite par le gradient d'indice optique. (Source : https://youtu.be/rnNjV3fh-4M).
Q19. Le gradient d'indice dans l'échantillon de plexiglas de la Figure 2 est purement vertical. En explicitant la démarche suivie et les approximations effectuées, proposer une estimation numérique du gradient d'indice optique dans cet échantillon. Commenter le résultat obtenu.
Q20. Décrire, au moyen d'un schéma et d'un protocole d'accompagnement, une autre expérience réalisable au laboratoire d'un lycée pour mettre en évidence la courbure des rayons lumineux induite par un gradient d'indice. Le protocole, dont la rédaction n'excèdera pas une demie-page, doit être suffisamment explicite pour pouvoir être mis en œuvre par des étudiants.
II. Exploitation interférométrique du gradient d'indice optique induit dans l'air par une plaque chauffée
Les gradients d'indice optique peuvent être exploités pour réaliser des mesures dans le domaine de la thermodynamique. On s'intéresse dans cette partie à une méthode de mesure interférométrique du coefficient d'échange conducto-convectif entre une plaque métallique chauffée et l'air ambiant. Le dispositif expérimental, présenté sur les Figures 3 et 4, repose sur la mise en œuvre d'un interféromètre s'apparentant à un interféromètre de Mach-Zehnder, éclairé par un faisceau lumineux parallèle et monochromatique, de longueur d'onde dans le vide λ_0.
Une plaque d'acier rectangulaire de faible épaisseur est placée dans un des bras de l'interféromètre. Elle est portée à la température T_(pl) au moyen d'un dispositif de chauffage avec lequel elle est en contact par sa face inférieure. Il en résulte l'existence d'un gradient de température dans l'air au-dessus de la plaque, supposé purement vertical, auquel est associé un gradient d'indice optique. Pour simplifier l'interprétation de la figure observée, on suppose que l'indice optique de l'air n'est modifié que dans le domaine situé au-dessus de la plaque chauffée (cf. Figure 4), appelé « zone d'influence thermique » de la plaque. Dans ce domaine, on considère que l'indice optique n ne dépend que de l'altitude z mesurée par rapport au plan de la plaque. Partout ailleurs, sa valeur est notée n_∞. On suppose en outre que le faisceau lumineux qui traverse l'interféromètre est suffisamment large pour couvrir toute la hauteur de la zone d'influence thermique au-dessus de la plaque.
Figure 3 - Schéma de l'interféromètre de Mach-Zehnder, vu de dessus.
Figure 4 - Schéma-modèle du bras de mesure de l'interféromètre de Mach-Zehnder, vu en coupe verticale. La « zone d'influence thermique » de la plaque chauffée est supposée restreinte à la zone délimitée par les pointillés. Dans cette zone, l'indice optique n de l'air dépend de l'altitude z; à l'extérieur de cette zone, il est supposé uniforme et noté n_∞.
Pour l'étude à suivre, on suppose le régime stationnaire atteint. La face supérieure de la plaque chauffée définit le plan d'équation z = 0. On note T(z) la température de l'air à l'altitude z dans la zone d'influence thermique de la plaque et T_∞ la température de l'air partout en dehors de cette zone. L'objectif est de déterminer une valeur expérimentale du coefficient d'échange h intervenant dans l'énoncé de la loi de Newton :
φ_Q = h[T_(pl) − T_∞]
où φ_Q désigne le flux thermique surfacique cédé par la plaque à l'air environnant. Les valeurs des températures T_(pl) et T_∞ sont mesurées à l'aide de thermocouples :
Température
Valeur mesurée
Incertitude-type
T_(pl)
55, 0^∘C
u(T_(pl)) = 0, 2^∘C
T_∞
21, 0^∘C
u(T_∞) = 0, 2^∘C
Q21. En considérant que h est de l'ordre de 10 W ⋅ m^(− 2) ⋅ K^(− 1), estimer l'ordre de grandeur du temps que met la plaque d'acier à atteindre la température T_(pl) après l'activation du système de chauffage, lequel délivre une puissance constante au cours du temps.
Q22. On suppose que l'air au voisinage immédiat de la plaque chauffée est au repos. Le flux thermique surfacique φ_Q est alors également donné par
φ_Q = − κ_a(dT)/(dz)(z = 0^+)
où κ_a est la conductivité thermique de l'air. Identifier la loi physique à l'origine de cette équation et dater le siècle au cours duquel elle a été énoncée.
II.B - Détermination du gradient de température dans l'air au voisinage immédiat de la plaque chauffée
La combinaison des équations (9) et (10) montre que la mesure du coefficient h requiert de déterminer la valeur expérimentale du gradient thermique vertical (dT)/(dz) au-dessus de la plaque, laquelle peut être mesurée en analysant la figure d'interférences obtenue en sortie du dispositif présenté sur la Figure 3.
Q23. On néglige tout phénomène de déflexion des rayons lumineux au-dessus de la plaque chauffée (cf. Figure 4). Exprimer la différence de marche δ(z) entre les deux rayons lumineux interférant en un point d'altitude z du capteur CCD en fonction des indices optiques n(z) et n_∞, et de la longueur L_y de la plaque chauffée selon la direction Oy.
Q24. Dans l'hypothèse où l'indice optique suivrait une loi affine vis-à-vis de l'altitude z audessus de la plaque chauffée, décrire précisément la figure d'interférences attendue sur le capteur. Interpréter qualitativement le (ou les) écart(s) entre cette prédiction et la figure d'interférences réellement obtenue, présentée sur la Figure 5.
Dans la zone d'influence thermique au-dessus de la plaque chauffée, conformément à la loi de Lorentz-Lorenz, l'indice optique de l'air est supposé varier avec la température locale T(z) selon
n(z) = n_∞ − a × [1/(T_∞) − 1/(T(z))]
où a est un coefficient positif et T_∞ désigne la température de l'air en-dehors de la zone d'influence thermique.
Q25. On note p(z) l'ordre d'interférences à l'altitude z au-dessus de la plaque et p_0 = p(z = 0^+)la valeur particulière de l'ordre d'interférences juste au-dessus de la plaque. Montrer que la connaissance de p(z) et de p_0 permet de remonter à la température T(z) via
Q26. Dans l'article dont est extrait la Figure 5, les auteurs adoptent la valeur p_0 = 7. Discuter ce choix et estimer l'incertitude-type u(p_0) associée à cette valeur.
Figure 5 - Enregistrement de la partie centrale de la figure d'interférences. (Source : A laboratory experiment for measuring the free convection heat transfer coefficient of a plane metal plate, C. Roldan & al., Eur. J. Phys 14 128).
En pointant les franges brillantes et les franges sombres de l'interférogramme, il est donc possible de caractériser le champ de température T(z) au-dessus de la plaque. Une analyse du profil moyen d'intensité, obtenu en considérant toute la largeur de l'interférogramme, conduit aux résultats de la Figure 6. Le modèle d'ajustement choisi est
T_(mod)(z) = θ_1 + (θ_2 − θ_1)exp(− k_1 z)
et les valeurs correspondantes des paramètres θ_1, θ_2 et k_1 sont regroupées dans le tableau cidessous. ^4
Paramètre
Meilleur estimateur
Incertitude-type
θ_1
291, 79 K
u(θ_1) = 0, 53 K
θ_2
328, 71 K
u(θ_2) = 0, 45 K
k_1
1, 339 cm^(− 1)
u(k_1) = 0, 055 cm^(− 1)
Figure 6 - Analyse de l'interférogramme : modélisation du champ de température T(z) au-dessus de la plaque chauffée par une loi exponentielle (à gauche) et représentation des résidus verticaux associés à cette modélisation (à droite).
Q27. Discuter, en utilisant des arguments quantitatifs, l'adéquation du modèle exponentiel T_(mod)(z) pour décrire le champ de température au-dessus de la plaque chauffée.
Q28. Calculer numériquement la valeur expérimentale du gradient (dT)/(dz)(z = 0^+)et l'incertitudetype associée.
II.C - Résultat de la mesure du coefficient d'échange h
Pour la détermination expérimentale du coefficient d'échange conducto-convectif h entre la plaque et l'air ambiant, on propose de mettre en œuvre une simulation Monte-Carlo en langage Python. Le script afférent à cette simulation est retranscrit dans la Figure 7.
Q29. Compléter, sur la copie, les lignes 26 et 27 du script présenté dans la Figure 7.
Q30. Expliquer en quoi consiste l'analyse statistique réalisée aux lignes 31 et 32 du script.
Une fois le script dûment complété, son exécution conduit aux résultats suivants (sans arrondi ni troncature) :
Q31. Écrire, avec un nombre adapté de chiffres significatifs, le résultat final de la mesure du coefficient h.
## Importation des bibliothèques utiles
import numpy as np
import numpy.random as rd
## Saisie des valeurs expérimentales et des incertitudes-type associées
Tpl, u_Tpl = 55.0, 0.2 # température de la plaque (en °C)
Tinf, u_Tinf = 21.0, 0.2 # température ambiante (en °C)
dT0, u_dT0 = # VALEURS NUMERIQUES OBTENUES EN Q28 (gradient de température
# au-dessus de la plaque (en K/m))
## Définition de la conductivité thermique de l'air
def kappa(T):
"""
Entrée : température T de l'air (en K).
Sortie : conductivité thermique de l'air à la température T (en W/m/K)
"""
return 1.5207e-11*T**3 - 4.857e-8*T**2 + 1.0184e-4*T - 3.9333e-4
## Simulation Monte-Carlo
NMC = 50000 # nombre total d'expériences virtuelles simulées
Lh = [] # initialisation d'une liste de stockage des valeurs de h obtenues
for i in range(NMC): # à chaque expérience virtuelle
Tpl_MC = Tpl + rd.normal(0, u_Tpl) # tirage d'une valeur de la température de la plaque
Tinf_MC = Tinf + rd.normal(0, u_Tinf) # tirage d'une valeur de la température ambiante
dT0_MC = # A COMPLETER ! # tirage d'une valeur du gradient thermique
h_MC = # A COMPLETER ! # calcul de la valeur de h correspondante
Lh.append(h_MC) # ajout de la valeur de h à la liste Lh
## Analyse statistique des résultats de la simulation
h = np.mean(Lh)
u_h = np.std(Lh, ddof = 1)
Figure 7 - Script Python proposé. La ligne 8 doit être complétée avec les valeurs numériques obtenues à la question 28.
III. Mirages gravitationnels
On s'intéresse dans cette dernière partie à la déviation d'un rayon lumineux au voisinage d'un corps massif tel que le Soleil. Dans la sous-partie III.A, le calcul est réalisé dans le cadre newtonien. La sous-partie III.B présente une méthode qui utilise indirectement ce phénomène de déviation gravitationnelle de la lumière pour détecter la présence de masses non visibles dans l'univers.
Les sous parties III.A et III.B sont assez largement indépendantes l'une de l'autre.
III.A - Déviation newtonienne de la lumière
On commence par considérer le mouvement d'une particule matérielle de masse m soumise au champ gravitationnel d'un astre de masse M, de rayon R et de centre L (voir Figure 8).
Figure 8 - Déviation d'une particule de masse m, localisée en A, par le champ gravitationnel d'un astre sphérique de masse M, de centre L et de rayon R. Le paramètre d'impact est noté b et la déviation totale χ_N.
Q32. Rappeler l'expression de la force gravitationnelle exercée par l'astre de masse M sur la particule de masse m localisé au point A sur la Figure 8. Vous ferez un schéma clair en y représentant les grandeurs utiles avec leur notation. Précisez la ou les hypothèse(s) qui doi(ven)t être faite(s) sur l'astre de masse M pour pouvoir utiliser l'expression de la force gravitationnelle trouvée précédemment.
Q33. Justifier que le mouvement de la particule de masse m est plan.
On utilisera les coordonnées polaires (r, φ) dans le plan de la trajectoire.
Q34. Montrer que
r˙^2 + (ℓ^2)/(r^2) − 2(GM)/r = 2e_m
en précisant les expressions et le sens physique des grandeurs ℓ et e_m (on prendra l'origine des énergies potentielles à l'infini). Déterminer le signe de e_m dans le cas où la particule provient de l'infini. Nommer ce type de processus.
On s'intéresse désormais à la trajectoire d'un rayon lumineux. Voici ce qu'écrivait Soldner en 1801 lorsqu'il résolu ce problème pour la première fois :
« J'espère que personne ne trouvera à redire au fait que je traite un rayon lumineux comme un corps massif. Les rayons lumineux possèdent toutes les propriétés absolues [fondamentales] de la matière, comme le montre le phénomène d'aberration, qui n'est possible que parce que les rayons lumineux sont véritablement matériels. De plus, on ne peut imaginer une chose qui existe et agit sur nos sens qui n'aurait pas la propriété de la matière. » ^5
Q35. Commenter brièvement la phrase de Soldner en la replaçant dans son contexte historique. Justifier en quelques lignes que l'on peut utiliser l'équation (14) pour déterminer la trajectoire d'un rayon lumineux.
Q36. On note r_P la valeur de r au périhélie. Exprimer ℓ en fonction de la vitesse de la lumière v_P à ce moment là, et du périhélie r_P. Exprimer de même ℓ en fonction cette fois de la vitesse de la lumière à l'infini v_∞ et du paramètre d'impact b (voir Figure 8). En déduire la variation relative de la vitesse de la lumière (v_P − v_∞)/v_∞ et commenter.
On introduit la variable u = r_P/r, où r_P est le périhélie.
Q37. Rappeler le nom usuellement donné à la variable u et montrer que
(d^2 u)/(dφ^2) + u = − (Φ_P)/(v_P^2)
en précisant l'expression et la signification de Φ_P. Estimer l'ordre de grandeur de − Φ_P/v_P^2 pour un rayon lumineux rasant la surface d'une étoile typique comme le Soleil, et pour un rayon lumineux rasant une planète typique comme la Terre. Commenter.
Q38. Déterminer la solution générale u(φ), puis en déduire que
r = p/(1 + εcos(φ − φ_P))
où φ_P est l'angle φ au périhélie. Donner les expressions de p et ε en fonction de r_P, Φ_P et v_P. Indiquer ce que représente ε et le relier à e_m. Préciser la nature des trajectoires et représenter leur allure en fonction de la valeur de ε.
Q39. En s'appuyant sur les ordres de grandeur estimés dans la question Q37, commenter la phrase suivante de Soldner : « Mais comme nous ne connaissons aucun corps céleste dont la masse serait si grande qu'elle pourrait produire à sa surface une telle accélération de la pesanteur, un rayon lumineux décrit, dans le monde qui nous est connu, toujours une hyperbole. » ^6.
Q40. On définit la compacité C d'un astre de masse M et de rayon R comme valant C = GM/(Rc^2). Les objets les plus compacts de l'univers sont les trous noirs. On admet que ces derniers peuvent se caractériser classiquement en stipulant que la vitesse de libération à leur surface est égale à la célérité de la lumière c. En déduire la compacité d'un trou noir. Commenter et discuter de la possibilité d'obtenir des orbites liées pour la lumière autour d'un astre? Donner une preuve observationnelle de l'existence des trous noirs.
Q41. On note χ_N la déviation totale de la lumière, c'est-à-dire l'angle entre le vecteur vitesse initial pour t = − ∞ et le vecteur vitesse final pour t = + ∞. Retrouver le résultat suivant de Soldner
tan(χ_N)/2 = (− Φ_P/v_P^2)/(√(1 + 2Φ_P/v_P^2))
En procédant aux approximations nécessaires, exprimer χ_N à l'ordre le plus bas en fonction de G, M, du paramètre d'impact b et de la vitesse v_∞.
III.B - Microlentille gravitationnelle
La déviation de la lumière étudiée précédemment est devenue aujourd'hui un outil de premier plan pour cartographier la distribution de matière dans l'univers (en particulier la matière noire).
Figure 9 - Configuration géométrique d'un phénomène de lentille gravitationnelle. L'observateur est en O, la lentille gravitationnelle en L et la source lumineuse en arrière plan en S.
On considère la configuration de lentille gravitationnelle de la Figure 9. L'objet massif L, non lumineux, responsable de l'effet de lentille est modélisé comme une masse ponctuelle M. La source lumineuse S est située en arrière plan, loin de l'observateur O et de l'objet déflecteur L. On supposera ainsi que la déflection a lieu sur une distance très petite devant ces distances, d'où la représentation en ligne brisée pour la propagation de la lumière sur la Figure 9. Par ailleurs, tous les angles sont supposés très petits : χ, θ, θ_S≪1.
Dans le cadre de la relativité générale, on admettra que l'expression de l'angle de déviation χ des rayons lumineux par une masse ponctuelle M diffère de celle obtenue par Soldner d'un facteur 2 et s'écrit
χ = (4GM)/(bc^2)
où b est le paramètre d'impact, qui peut être assimilé à la distance LK dans la limite des petits angles (voir la Figure 9).
Équation des lentilles
Q42. À l'aide de considérations géométriques simples et des approximations nécessaires, établir la relation suivante, qui permet de déterminer θ :
D_(OS)θ = D_(OS)θ_S + D_(LS)χ
Puis, toujours dans le cadre des approximations faites précédemment, en exprimant b en fonction de θ et D_(OL), déduire l'équation des lentilles suivante :
Décrire ce que voit l'observateur dans le cas θ_S = 0.
L'angle θ_E est appelé rayon (angulaire) d'Einstein. C'est lui qui fixe une échelle angulaire naturelle du problème.
Q43. Application numérique : calculer l'ordre de grandeur de θ_E pour un effet de lentille gravitationnelle induit par un astre d'une masse solaire dans la galaxie (on pourra prendre comme distances caractéristiques 10 kpc). Le taux d'expansion de l'univers est aujourd'hui d'environ H_0 ≃ 70(km.s^(− 1))/Mpc. À l'aide de cette grandeur, estimer la taille de l'univers et en déduire un ordre de grandeur de l'effet de lentille gravitationnelle qui peut être observé dans le contexte cosmologique par une galaxie (M = 10^(12) × M_⊙).
Images multiples et amplification
Q44. Déterminer les solutions θ_±correspondant aux deux images que voit l'observateur dans le cas θ_S ≠ 0. Représenter ces deux images sur la Figure 9, reproduite sur la copie; faire également figurer le rayon d'Einstein θ_E.
L'effet de déflection de la lumière n'est associé à aucun mécanisme d'absorption (ou d'émission), si bien que les effets de lentilles gravitationnelles conservent l'énergie; cependant, la lentille modifie l'angle solide sous lequel la source est vue. On définit un facteur d'amplification gravitationnelle A comme le rapport entre les angles solides sous lesquels sont observées l'image et la source, soit dans notre cadre :
A = θ/(θ_S)(dθ)/(dθ_S)
Q45. Justifier l'expression (21) puis en déduire les amplifications A_±des deux images en fonction du paramètre d'impact angulaire réduit w ≡ θ_S/θ_E. Vérifier que A_+ + A_− = 1.
Figure 10 - Représentation graphique de A_±en fonction de w, ainsi que l'amplitude totale définie par A_(tot) ≡ |A_+| + |A_−|.
Q46. Discuter la valeur de A_(tot) ≡ |A_+| + |A_−|par rapport à 1 . Calculer numériquement A_(tot) pour une source sur le rayon d'Einstein θ_S = θ_E (à défaut d'application numérique à partir de l'expression de A_±, estimer la valeur demandée grâce au graphique). Discuter la limite θ_S → 0.
Microlentilles dans notre galaxie
On peut utiliser les résultats précédents pour détecter la présence d'objets massifs, comme les MACHO (Massive Astrophysical Compact Halo Object), lorsque ceux-ci passent devant une source lumineuse S d'arrière-plan (une étoile), en étudiant la variation transitoire de sa luminosité apparente lors du transit de l'objet massif au voisinage de la ligne de visée reliant l'observateur O à la source lumineuse S.
On suppose que le MACHO se déplace à la vitesse constante v⃗ dans un plan perpendiculaire à la ligne de visée OS. On prend comme origine des temps t = 0 l'instant correspondant au minimum de l'angle θ_S (donc au paramètre d'impact), et on notera w_0 ≡ w(t = 0).
Q47. À quelle distance angulaire typique doit passer le MACHO par rapport à l'étoile d'arrière plan pour voir un effet sensible? Faire un schéma représentant la situation.
Q48. Justifier que
w(t) = √(w_0^2 + (v^2 t^2)/(R_E^2))
où vous donnerez l'expression de R_E en fonction de θ_E et D_(OL).
Q49. Sur la Figure 11, que vous reproduirez sur votre copie, tracer qualitativement A_(tot)(t) pour une valeur de w_0 plus petite que 0,5, puis pour une valeur de w_0 plus grande que 0,5.
Figure 11 - Représentation graphique de A_(tot)(t) pour w_0 = 0, 5.
Q50. Exprimer le temps caractéristique τ sur lequel l'amplification de la luminosité se produit. Evaluer numériquement τ pour un déflecteur d'une masse solaire, se déplaçant à la vitesse de 200 km.s^(− 1), dans le cadre d'une lentille ayant lieu dans notre galaxie.
Q51. Si on échantillonne les courbes de lumière avec des intervalles de temps entre une heure et une année, avec les hypothèses de la question précédente, quel intervalle de masse (en unité de masse solaire) peut-on espérer détecter ?
Q52. Parmi les millions de courbes de lumière obtenues expérimentalement de façon automatisée, proposer quelques critères permettant de sélectionner celles qui correspondent à un effet de microlentille gravitationnelle et non pas à une variabilité d'une autre nature, telles que les étoiles variables, les supernovae etc...
Fin ____
Mirages acoustiques, J.-M. Courty & É. Kierlik, Pour la Science, n°298, août 2002.
Une Smart est une petite voiture citadine., tandis qu'une Ferrari est une puissante voiture de sport
La démonstration de l'équivalence entre les deux équations n'est pas attendue.
Les données expérimentales ont été traitées en langage Python grâce à la fonction curve_fit du module scipy.optimize. Les incertitudes-type associées ont été estimées grâce à une simulation Monte-Carlo.
« Hopefully, no one would find it objectionable that I treat a light ray as a heavy body. That light rays have all the absolute [basic] properties of matter one can see from the phenomenon of aberration which is possible only because light rays are truly material. And furthermore, one cannot think of a thing which exists and works on our senses that would not have the property of matter. »
« Since, however, we know of no celestial body whose mass would be so great that it could produce at its surface such an acceleration of gravity, a light ray describes, in the world known to us, always a hyperbola. »
Questions fréquentes
3 questions
Sur quels chapitres porte la composition de physique de l'agrégation externe 2023 ?
Afficher ou masquer la section
Sur quels chapitres porte la composition de physique de l'agrégation externe 2023 ?
+
Elle porte sur l'optique géométrique, la propagation acoustique, l'équation eikonale en électromagnétisme, l'interférométrie, le traitement statistique de données et la mécanique relativiste appliquée à la déviation de la lumière.
Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées à la composition de physique de l'agrégation 2023 ?
+
Une confusion entre atténuation et absorption, entre réfraction limite et réflexion totale, une signification approximative du vecteur de Poynting, et une erreur récurrente de facteur racine de 2 sur la vitesse de libération.
La composition de physique de l'agrégation 2023 est-elle faisable en entier ?
+
Non, le rapport indique que la partie III.B, sur la détection d'objets compacts, n'a presque pas été abordée et que les questions 44 à 52 ont été très peu traitées, malgré des questions simples.
Sujet proche avec corrigéX ENS Physique MP 2025X-ENS · 2025Corrigé
Sujet proche avec corrigéBanque PT Physique A PT 2025Banque PT · 2025Corrigé
Sujet proche avec corrigéCCINP Physique MP 2025CCINP · 2025Corrigé
