Agrégation physique externe 2024, épreuve 1Sujet et rapport du jury

AGREGATION
CONCOURS EXTERNE

Section : PHYSIQUE-CHIMIE
Option : PHYSIQUE

INFORMATION AUX CANDIDATS

Ces codes doivent être reportés sur chacune des copies que vous remettrez.

Conversion d'énergie solaire

Figure 1 : Couronne solaire visible en France lors de l'éclipse solaire du 11 août 1999.

Formulaire d'analyse vectorielle

• □Pour tout champ de vecteur A⃗, V étant un volume délimité par une surface S :
  ∯ _S A⃗ ⋅ d^2 S^(→−) = ∭_V div(A⃗)d^3 τ
• ◻(A⃗ ∧ B⃗).C⃗ = A⃗.(B⃗ ∧ C⃗) = − B⃗.(A⃗ ∧ C⃗)
• □ rot^(→−)(rotA^(→−)) = grad^(→−)(divA⃗) − ΔA⃗
• ◻rot^(→−)(A⃗ ∧ B⃗) = (B⃗.grad^(→−))A⃗ − (A⃗.grad^(→−))B⃗ + A⃗(divB⃗) − B⃗(divA⃗)
• ◻(rot^(→−)A⃗) ∧ B⃗ = (B⃗.grad^(→−))A⃗ − grad^(→−)((A⃗.B⃗)/2)
• □Gradient en coordonnées cylindriques : grad^(→−)f = (∂f)/(∂r)u_r^(→−) + 1/r(∂f)/(∂θ)u_θ^(→−) + (∂f)/(∂z)u_z^(→−)

Valeurs numériques

• □Rayon du Soleil : R_S = 7, 0 × 10^5 km
• □Rayon terrestre : R_T = 6380 km
• □Distance Terre-Soleil (unité astronomique) : D = 1, 5 × 10^8 km
• □Constante de Stefan-Boltzmann : σ_S = 5, 67 × 10^(− 8) W ⋅ m^(− 2) ⋅ K^(− 4)
• □Conductivité du cuivre à 25^∘C : σ_(Cu) = 5, 9 × 10^7 S ⋅ m^(− 1)
• □Constante de Planck réduite : ℏ = h/(2π) = 1, 05 × 10^(− 34) J ⋅ s
• □Perméabilité magnétique du vide : μ_0 = 1, 26 × 10^(− 6)H ⋅ m^(− 1)
• □Constante de Boltzmann : k_B = 1, 38 × 10^(− 23) J ⋅ K^(− 1)

I. LES ONDES D'ALFVÉN

I.1. Équations de base

1. En considérant un volume fermé V délimité par une surface fermée S et en réalisant soigneusement un bilan de masse entre deux instants voisins, démontrer l'équation (1).
2. Dans la suite on considèrera l'écoulement incompressible, de sorte que ρ = ρ_0. Montrer que u⃗ est à flux conservatif.
3. Décrire brièvement le sens physique des différents termes de l'équation (2) sans excéder deux lignes de réponse par terme.
4. Les permittivités magnétiques et diélectriques du plasma coronal sont celles du vide. Rappeler les équations de Maxwell dans le vide. Préciser leur expression simplifiée dans l'approximation des régimes quasi-stationnaires (ARQS).

Changement de référentiel non relativiste du champ électromagnétique.

6. En utilisant la loi de transformation des vitesses montrer que, pour un conducteur globalement neutre, la densité volumique de courant J⃗ est invariante dans le changement de référentiels (R') et (R).
   Justifier que la loi d'Ohm locale dans un conducteur de conductivité σ animé d'une vitesse u⃗ dans un référentiel (R) dans lequel est évalué le champ électromagnétique (E⃗, B⃗) s'exprime :

I.2. Équation d'induction

10. A quel type de transport du champ magnétique correspond le terme (u⃗. grad ^(→−))B⃗ ? Proposez en quelques mots une interprétation pour le terme (B⃗.grad^(→−))u⃗. Récrire cette équation en faisant apparaitre la dérivée particulaire (ou dérivée lagrangienne) (DB⃗)/(Dt) du champ magnétique.

I.3. Équation de la quantité de mouvement et paramètres sans dimension

11. En utilisant les équations de Maxwell, montrer que l'on peut écrire l'équation de quantité de mouvement (2) telle que :

I.4. Ondes d'Alfvén

14. Montrer que les champs v⃗ et b⃗ vérifient le système :

15. Déterminer l'équation de propagation vérifiée par le champ magnétique b⃗. On introduira une vitesse caractéristique pour ces ondes dites la vitesse d'Alfvén : V_A = (B_0)/(√(ρ_0 μ_0)).

II. PUISSANCE RAYONNEE PAR LE SOLEIL

II.1. Chauffage dans l'atmosphère solaire

24. Calculez l'ordre de grandeur de Π_z. Est-il est compatible avec l'ordre de grandeur de flux énergétique nécessaire au chauffage de la couronne solaire Φ_c ≈ 0, 2 × 10^3 W ⋅ m^(− 2) ? Quelle quantité doit-on mesurer sur la longueur d'une boucle magnétique pour définitivement valider que les ondes d'Alfvén sont bien à l'origine du chauffage de la couronne solaire ?

II.2. Energie solaire reçue à la surface de la Terre

Figure 2 : Spectre solaire hors atmosphère et ajustement avec la loi de Planck

27. En quelques lignes, expliquer le principe de la méthode dite « des moindres carrés ».
28. Le maximum de la loi de Planck est donné par la relation : λ_(max) = (2, 899.10^(− 3))/T, où la longueur d'onde est exprimée en mètres et la température en kelvins (loi de déplacement de Wien). Quelle valeur de λ_(max) approximative obtenez-vous par lecture graphique de la figure 2 ? Vérifier que cette valeur est compatible avec la valeur renvoyée par la fonction curve_fit : T = 5761 K.

III. ÉTUDE D'UNE INSTALLATION PHOTOVOLTAÏQUE

• □l'installation doit fournir une tension alternative sinusoïdale de valeur efficace égale à V_2 = 230 V, à la fréquence f = 50 Hz;
• □cette tension doit obligatoirement être en phase avec la tension du réseau électrique.

III.1. Schéma électrique équivalent d'une cellule photovoltaïque

Figure 3 : Schéma électrique d'une cellule photovoltaïque sans pertes reliée à une résistance de charge

• ◻ I_S = 1, 0.10^(− 12) A;
• □ I_(ph) = 40 mA pour une puissance d'éclairement P_L = 100 mW sur la cellule.

32. Déterminer l'équation de la caractéristique I(V) de la cellule photovoltaïque en fonction de I_(ph), I_S et V_T.
33. Déterminer l'expression littérale de l'intensité de court-circuit I_(cc) et de la tension en circuit ouvert V_(co). Faire les applications numériques à T = 25^∘C pour une puissance d'éclairement P_L = 100 mW sur la cellule.

Figure 4 : Caractéristique intensité - tension de la cellule photovoltaïque sous différentes puissances d'éclairement

34. On considère dans cette question que la puissance lumineuse reçue vaut P_L = 100 mW. En utilisant le tracé de la caractéristique, déterminer approximativement la valeur de résistance R de charge pour laquelle la cellule délivre une puissance électrique maximale. Donner la valeur numérique de cette puissance P.
35. On souhaite associer plusieurs cellules élémentaires pour obtenir un panneau tel que, sous des conditions d'éclairement correspondant à E = 1, 0 kW ⋅ m^(− 2), on obtienne une tension aux bornes du panneau de 40 V et une puissance électrique égale à 300 W (par panneau). Déterminer le nombre de cellules élémentaires à associer et préciser la manière de les associer.
36. Quelle surface de cellules doit-on placer pour obtenir une puissance totale de l'installation de 2,4 kW dans ces conditions d'éclairement (E = 1, 0 kW.m^(− 2)) ? Dans ces conditions, définir et calculer numériquement le rendement de l'installation photovoltaïque. Expliquer par un argument physique pourquoi ce rendement est éloigné de l'unité.
37. Supposons que l'on associe en série deux cellules photovoltaïques élémentaires inégalement éclairées, l'une étant éclairée par un flux deux fois plus important que l'autre (à cause d'une salissure par exemple). Représenter qualitativement, sur un même graphe, la caractéristique de
    chaque cellule et la caractéristique de l'association en série des deux cellules. L'association en série fonctionne-t-elle de manière satisfaisante ?

III.2. Transformateur élévateur

Figure 5 : Représentation du transformateur.
L'enroulement primaire compte N_1 spires, l'enroulement secondaire en compte N_2. On note m = (N_2)/(N_1).
Les tensions v_1 et v_2 sont sinusoïdales, de valeurs efficaces respectives V_1 et V_2.

39. Dans le cadre du modèle du transformateur parfait, que peut-on dire du flux du champ magnétique B⃗ à travers toute spire des enroulements primaire et secondaire ? En déduire la loi des tensions, qui relie les valeurs efficaces V_1 et V_2 pour un transformateur parfait.
40. En déduire la valeur numérique du rapport de transformation m permettant de satisfaire le cahier des charges du raccordement de panneaux photovoltaïques décrit au début de la partie III.

Figure 6: Cycle d'hystérésis du matériau (réel à gauche, idéalisé à droite). M et H représentent respectivement la composante de l'aimantation et de l'excitation magnétique dans une même direction.

42. Recopier le cycle idéalisé et faire figurer la norme M_(sat) de l'aimantation de saturation. Lorsque le matériau est dans la partie linéaire de la caractéristique M(H) de la figure 6, quelle est la relation entre M⃗ et H⃗ ? On introduira la susceptibilité magnétique χ du matériau.
43. Qu'appelle-t-on un matériau ferromagnétique doux ? Donner un ordre de grandeur typique de la susceptibilité magnétique χ d'un tel matériau. Pour un matériau paramagnétique, quel serait l'ordre de grandeur de χ ? Et pour un matériau diamagnétique ?
44. Dans la partie linéaire de la caractéristique M(H), montrer que le champ B⃗, est également proportionnel à H⃗. On introduira la perméabilité relative μ_r que l'on exprimera en fonction de χ.
45. Tracer l'allure du cycle d'hystérésis, réel et idéalisé, représentant B en fonction de H.

Figure 7 : Transformateur étudié. Le trait gras en pointillés dans le tore représente une ligne de champ de longueur ℓ.

48. Quelle est la valeur du rendement en puissance du transformateur dans le cadre du modèle du transformateur parfait ?

Étude simplifiée des pertes dans le transformateur

Figure 8 : Montage proposé pour le relevé du cycle d'hystérésis. On suppose toujours les normes de B→ et H^(→−), notées respectivement B et H constantes dans tout le tore ferromagnétique. L'amplificateur linéaire intégré est idéal.

52. Le transformateur est alimenté à une fréquence f = 50 Hz. Proposer, en la justifiant brièvement, une valeur pour la période T_e d'échantillonnage des valeurs de v_X et v_Y.

Figure 9 : Relevé du cycle d'hystérésis B(H) du transformateur

aire=0
for i in range(1,len(H)):
    aire+=B[i]*(H[i]-H[i-1])
aire=abs(aire)
print(aire)

aire=0
i=1
while i<=len(H):
    aire+=B[i]*(H[i]-H[i-1])
aire=abs(aire)
print(aire)

[662.71, 661.44, 665.52, 687.78, 672.97,
672.23, 666.46, 650.84, 637.25, 634.56]