Agrégation physique externe 2025, épreuve 3Sujet et rapport du jury

AGREGATION
CONCOURS EXTERNE

Section : PHYSIQUE-CHIMIE
Option : PHYSIQUE

PROBLÈME DE PHYSIQUE

INFORMATION AUX CANDIDATS

Ces codes doivent être reportés sur chacune des copies que vous remettrez.

Manipulation de macromolécules uniques

Figure 1 - Représentations atomistique et simplifiée de la double hélice d'ADN avec les dimensions principales. Adapté de "Biology" (Solomon/Martin/Berg/Villee, 1993).

Figure 2 - Pinces magnétiques

Formules physiques

A. Fonctionnement du dispositif

A.1. Piégeage de la bille magnétique

A.1.1. Création du champ magnétique

• 1.Donner l'expression de l'énergie potentielle E_p d'un dipôle magnétique M⃗ dans un champ magnétique B⃗. Donner les expressions du moment Γ⃗ et de la force F⃗ subis par le dipôle magnétique M⃗, préciser dans quelles conditions la force est non nulle.

• 2.Réaliser un schéma de la géométrie du problème, incluant les dipôles M⃗_1 et M⃗_2. Exprimer le champ magnétique B⃗ au point O en fonction de la distance d entre les aimants.
• 3.On considère maintenant un point P, toujours à égale distance des aimants, mais situé à un niveau vertical différent, en position (0, z) par rapport au repère choisi.
  Déterminer l'expression du champ magnétique en P en fonction de d et z.
  Déterminer à quelle(s) distance(s) z de l'origine O le champ magnétique s'annule.

A.1.2. Bille superparamagnétique

• 4.- Donner les définitions d'un matériau magnétique (i) linéaire, (ii) homogène, (iii) isotrope.
  • -Écrire, dans un tel milieu, la relation entre le champ magnétique B⃗ qui règne dans le matériau, l'excitation magnétique H⃗ et l'aimantation M⃗ du matériau. Préciser la définition de ces grandeurs et leurs unités usuelles.
• 5.Définir la susceptibilité magnétique χ_m et donner son expression approchée lorsque l'aimantation permanente du matériau est nulle et que les valeurs de M et H sont suffisamment faibles pour que l'on puisse se limiter au terme d'ordre 1 dans le développement limité de M en fonction de H.

Figure 3 - Réponses magnétiques de différents matériaux.

• • -Montrer que, dans ces hypothèses, on peut écrire
    B⃗ = μH⃗
    et exprimer μ, la perméabilité magnétique du matériau, en fonction de χ_m, sa susceptibilité magnétique et de μ_0.
    On s'intéresse maintenant à la relation entre l'aimantation M⃗ et le champ H⃗. Nous admettrons que M⃗ = χ_m H⃗.
• 6.La Figure 3 montre les réponses magnétiques M(H) associées à différentes classes de matériaux magnétiques. Associer chacune des courbes (A), (B) et (C) avec une des classes de matériaux suivants en justifiant votre réponse par une description du comportement associé :
  • -matériaux ferromagnétiques (FM),
  • -matériaux diamagnétiques (DM),
  • -matériaux paramagnétiques (PM).

• 7.Expliquer pourquoi, si l'on observe, en champ extérieur magnétique nul, le comportement magnétique de la nanoparticule sur des temps de mesure τ_(mes)≫τ, l'aimantation moyenne de la particule mesurée sera nulle, en champ extérieur nul : on est alors dans le régime superparamagnétique. Justifier la référence au paramagnétisme dans le nom de ce régime.
• 8.Dans le cas contraire, τ_(mes)≪τ, l'aimantation mesurée a une valeur non nulle : la particule peut être assimilée à un moment magnétique fixe et elle est alors dite « bloquée ».
  Pour un τ_(mes) donné, déterminer la température de blocage T_B correspondante et préciser dans quelles conditions la particule est bloquée.
• 9.On mesure par d'autres moyens K ≃ 350 kJ/m^3 et la valeur de ln(τ_(mes)/τ_0) ≃ 20. On veut disposer de billes ayant un moment magnétique bloqué à température ambiante. Quelle doit être la taille des nanoparticules?

A.1.3. Force magnétique sur la bille

• 10.En tenant compte des éléments discutés ci-dessus, tracer schématiquement la réponse magnétique d'une bille superparamagnétique et comparer avec les réponses décrites en Figure 3.
• 11.On considère une bille micrométrique superparamagnétique soumise à un champ magnétique B⃗. Si la valeur de B⃗ est suffisamment élevée pour que l'aimantation de la bille arrive à sa valeur de saturation, on peut montrer que l'énergie potentielle de la bille s'écrit
  E_p(B) = − 1/2m⃗_(sat) ⋅ B⃗.
  • -En déduire la force F⃗ subie par la bille dans ces conditions.
  • -Dans une expérience typique, l'intensité du champ magnétique B⃗ vaut environ 0, 5 T au milieu des aimants et décroît jusqu'à zéro sur une distance d'environ 5 mm. Le moment magnétique m⃗_(sat) de la bille à saturation est de l'ordre de 10^(− 12) A ⋅ m^2. Déterminer l'ordre de grandeur de la force agissant sur la bille.

A.2. Mesures de force

A.2.1. Modèle de pendule inversé

Figure 4 - Configuration typique en « pendule inversé », telle qu'observée à un instant donné au cours de l'expérience.

• 12.- Identifier et exprimer l'ensemble des forces agissant sur la bille, puis écrire les conditions d'équilibre mécanique du système en faisant référence à la configuration de la Figure 4.
  • -Trouver la position d'équilibre de la bille (l'exprimer en fonction de l'angle β ) et la justifier par une démonstration.
• 13.Le vecteur unitaire normal à la trajectoire et dirigé du point de suspension du pendule vers la bille, sera noté e⃗_r. Le vecteur unitaire tangent à la trajectoire et orienté dans le sens trigonométrique, sera noté e⃗_θ.
  • -Écrire le principe fondamental de la dynamique pour la bille dans le repère identifié par ces vecteurs.
  • -En déduire une équation différentielle pour l'angle β(t), puis une expression pour la tension du fil F⃗_t en fonction de β, β˙ et des paramètres du problème.
• 14.Toujours dans la configuration de la Figure 4 écrire l'énergie potentielle E_p du pendule inversé, son énergie cinétique E_c et son énergie mécanique E_m(β, β). Expliquer pourquoi la tension de l'ADN F⃗_t ne travaille pas. En déduire une équation différentielle pour β. Comparer au résultat de la question 13.
• 15.Par un développement limité (dont on explicitera l'expression), simplifier l'équation obtenue dans le cadre de petits angles. Nommer l'équation obtenue.
• 16.Dans l'expérience réelle avec la molécule d'ADN, en présence de solvant et à température donnée, on peut observer l'angle β osciller autour de sa valeur d'équilibre. Énoncer et décrire le(s) phénomène(s) physique(s) qui permet(tent) d'expliquer cet effet.

A.2.2. Fluctuations thermiques

• 17.Effectuer un développement limité pour exprimer l'énergie potentielle E_p(β) du pendule inversé dans le cas de petites fluctuations, β≪1. En déduire une expression de cette énergie potentielle en fonction de la coordonnée x de la bille, E_p(x), toujours dans le cas de petites fluctuations. Quelle est la nature de la force qui détermine le mouvement horizontal de la bille?

Figure 5 - Enregistrement expérimental de la position x de la bille au cours du temps. Le graphe de droite correspond à l'histogramme P(x) des positions enregistrées dans cet intervalle de temps et ajusté par une fonction gaussienne (ligne noire).

• 18.On réalise une expérience de pinces magnétique sur une molécule d'ADN et on enregistre les données de la Figure 5. Expliquer comment il est possible, à partir des données de la figure, de déterminer l'intensité de la force magnétique F⃗ qui s'exerce sur la bille. Montrer que l'intensité recherchée est donnée par
  F = (Lk_B T)/(⟨x^2⟩)
  où ⟨x^2⟩ est la valeur quadratique moyenne de la position x (et, on le rappelle, T est la température et L la longueur de la molécule d'ADN).
• 19.En se basant sur les données de la Figure 5, donner un ordre de grandeur de la force magnétique F sur la bille lors de l'enregistrement. L'expérience est réalisée avec une molécule d'ADN de longueur L ≃ 16, 5μ m.
• 20.Justifier le fait que l'histogramme des position P(x) puisse être ajusté par une fonction gaussienne.

A.2.3. Analyse de Fourier

• -En déduire une estimation de la force F qui s'applique sur la bille dans le cas de l'expérience de la Figure 6.
• -Comparer ce résultat à l'ordre de grandeur de la force trouvée avec une méthode moins précise à la question 19.

Figure 6 - Densité spectrale S_(xx)(f) obtenue dans une expérience avec une configuration donnée des aimants sur un système DNA-bille.

A.3. Mesures de position

A.3.1. Position horizontale

• 27.- Définir le cadre de la diffraction de Fraunhofer, encore nommée diffraction en champ lointain ou approximation de Fraunhofer.
  • -Dans l'expérience, la diffraction est due à une pupille circulaire de rayon a : décrire ce qu'on observe à l'écran dans le cas d'une diffraction de Fraunhofer. Faire un dessin schématique, donner le nom de la figure de diffraction obtenue.

• 28.Dans le cas de l'expérience des pinces magnétiques, l'objet diffractant n'est pas une ouverture dans un écran, mais la bille magnétique. Expliquer les analogies et différences par rapport au cas discuté plus haut d'une ouverture circulaire, dans l'hypothèse d'un montage optique identique et en considérant la bille comme un objet opaque.
• 29.Dans l'expérience, une lentille mince de focale f^′ est utilisée pour former l'image de la bille sur le plan de la caméra CCD, qu'on suppose coïncidant avec le plan focal image. Exprimer le diamètre d_1 de la première frange noire à l'écran en fonction des paramètres du problème.
• 30.L'ouverture de la pupille est a = 10μ m. On éclaire le système à l'aide d'une LED rouge. L'image enregistrée par la caméra CCD est formée de pixels carrés de 10μ m de côté. Déterminer la focale f^′ qu'il conviendrait de choisir pour pouvoir observer l'image dans ces conditions, en supposant que l'objectif travaille dans l'air (« objectif sec »).

A.3.2. Position verticale

Figure a

Figure b

• 31.En suivant le document scientifique 1, les profils radiaux des images enregistrées lors d'une expérience peuvent être comparés à ceux obtenus lors de la phase d'échantillonnage grâce à un ajustement par la méthode des moindres carrés. Décrire cette méthode dans le cas général : donner son objectif, le principe de la méthode, expliciter la fonction S qui doit être minimisée et par rapport à quelles variables on doit minimiser.
• 32.Dans le cas de l'expérience, quelle grandeur joue le rôle des ou de la variable par rapport à laquelle on minimise S ?

33. Le script Python suivant, incomplet, permet de définir une fonction qui prend en entrée une série de mesures {x_i, y_i} et une fonction f(x, A) dépendant d'un paramètre A et réalise un ajustement de la fonction aux mesures par la méthode des moindres carrés.

def moindres_carre(mesures, func, initial_param, step=0.01, tolerance=1e-6):
    xdata, ydata = mesures
    A = initial_param
    quantite_prec = .............................
    while True:
        A += step
        quantite_actu = ..............................
        if abs(quantite_actu - quantite_prec) < tolerance:
            break
        quantite_prec = quantite_actu
    return A

• • -Compléter la fonction en écrivant les expressions appropriées dans les espaces indiqués par les points.
  • -Comment une modification de la valeur du paramètre step affecte-t-elle le processus d'optimisation? Quelles peuvent être les conséquences négatives d'une valeur trop élevée ou trop basse?

B. Élasticité de l'ADN

B.1. Un comportement élastique

Figure 7 - Courbe force extension obtenue sous pinces magnétiques pour l'ADN du virus Lambdaphage, de longueur L = 16, 5μ m. La figure de droite est un agrandissement du régime de faible force de la figure de gauche.

• 34.Justifiez l'existence d'un régime élastique pour l'ADN pour des forces suffisamment faibles sur la base de la Figure 7. Donner une estimation grossière des forces et extensions pour lesquelles ce régime est observé. Montrer que l'ordre de grandeur pour la constante de raideur associée à ce régime élastique est de quelques 10^(− 8) S.I.
• 35.En comparant l'extension typique du régime linéaire avec la longueur étirée L de la molécule d'ADN, justifier la nécessité d'un modèle spécifique pour expliquer ce comportement élastique.

B.2. Élasticité entropique

Figure 8 - Modèle simple de polymère dans sa version 3D (à gauche) ou 1D (à droite).

• 36.- Exprimer l'extension globale du polymère, z, pour une configuration donnée (plus ou moins désordonnée).
  • -Déterminer la valeur moyenne ⟨z⟩ de l'extension z, en absence de force, à f = 0.
  • -Montrer que la variance ⟨z^2⟩, c'est-à-dire la valeur moyenne du carré de z, s'écrit, toujours dans le cas où f = 0,
    ⟨z^2⟩ = ℓL.

• 37.Clarifier la similitude entre la formule ⟨x^2⟩ = 2Dt pour une marche aléatoire 1D et l'expression de ⟨z^2⟩ dans le modèle de chaîne librement jointe, en précisant les relations entre les grandeurs N, ℓ, δx, ⟨z^2⟩ et ⟨x^2⟩.

• 38.On applique une force d'étirement f constante. L'extension mesurée de la chaîne se stabilise à z > 0. Donner l'expression du travail effectué par la force f pour étirer le polymère de sa longueur initiale jusqu'à z. En déduire une expression pour l'énergie potentielle U du système à l'état étiré.

• 39.- Déterminer la probabilité qu'un monomère soit orienté dans la direction + e⃗_z et celle qu'il soit orienté selon − e⃗_z.
  • -En déduire l'orientation moyenne des monomères, ⟨z_i⟩. L'exprimer en utilisant une fonction hyperbolique.
• 40.Utiliser le résultat précédent pour déterminer ⟨z⟩, l'extension moyenne de la chaîne à l'équilibre. Tracer ⟨z⟩/L en fonction de fℓ/k_B T.
• 41.- Décrire le comportement de la chaîne dans la limite des grandes forces fℓ/k_B T≫1. Déterminer dans quelle mesure ce comportement peut être considéré comme réaliste.
  • -Déterminer le comportement de la chaîne dans la limite des petites forces fℓ/k_B T≪1.
• 42.Exprimer la force f⃗_(ADN) que la molécule d'ADN exerce sur l'opérateur en présence d'une faible force extérieure f et en conditions d'équilibre. Commenter l'expression «élasticité entropique» utilisée pour ce régime.
• 43.Dans le régime de force faible, on peut associer une constante élastique effective k_(ADN)^(1D) à la chaîne polymère. Déterminer cette constante et en vérifier l'homogénéité.

• 44.Justifier l'Équation 5, en précisant le choix du système de coordonnées effectué.
• 45.- Écrire explicitement l'expression générale du facteur de normalisation (ou fonction de partition) Z.
  • -Montrer ensuite que Z peut s'écrire
    Z = (∫_0^(2π) dφ∫_0^π sinθdθexp((fℓcosθ)/(k_B T)))^N

46. Montrer, à partir de l'Équation 6 et de l'Équation 7, que

B.3. Élasticité entropique : thermodynamique

• -Dans le cas d'une force suffisamment élevée, tous les monomères s'orientent dans le sens de la force. Déterminer le nombre de configurations différentes correspondant à cet état.
• -En utilisant la définition statistique de l'entropie, donner l'entropie pour chacun de deux états considérés aux deux conditions précédentes, S_(f = 0) et S_(f≫f_0), où f_0 = k_B T/ℓ.
• -Faire l'application numérique pour N = 100.

• -Déduire l'expression de l'énergie libre F du système.
• -Justifier la relation suivante entre la force f et l'extension z : f = (∂F)/(∂z).
• -En déduire une relation force-extension valable pour des forces suffisamment faibles.
• -Comparer avec les résultats trouvés dans la sous-section B.2.

C. Modélisation de l'ADN comme une longue tige flexible

C.1. Ajustement avec le « modèle du ver »

• 50.Par un développement limité à l'ordre 1, montrer que pour des faibles valeurs de z/L le comportement du « modèle du ver » est élastique, de constante élastique k_(ADN)^(3D) (Équation 9).
• 51.Un ajustement des données de la Figure 7 par le module de l'Équation 11 permet d'obtenir l'estimation k_(ADN)^(3D) ≃ (7, 70 ± 0, 40) × 10^(− 6)pN ⋅ nm^(− 1).
  • -Déduire une estimation du paramètre ℓ.
  • -Attribuer une incertitude à cette estimation.
  • -En comparant avec la Figure 1, estimer grossièrement le nombre n_ℓ de paires de bases qui constituent un segment d'ADN de longueur ℓ.

C.2. L'ADN comme une tige élastique : traction

• 52.Préciser l'unité usuelle du module de Young Y (définition en préambule). Justifier qu'il peut être assimilé à l'énergie par unité de volume qui assure la cohésion d'un matériau et en donner une interprétation microscopique.
• 53.Les métaux et les verres cristallins sont maintenus ensemble par des liaisons covalentes dont l'énergie est de l'ordre de l'eV, à une densité de l'ordre d'une liaison par angström cube. Trouver le module d'Young typique d'un cristal à liaisons covalentes et comparer avec les valeurs données dans le Tableau 1.

Figure 9 - Modèle de tige élastique de longueur L, rayon r, soumis à une force f⃗ qui induit un allongement ΔL.

• 54.- Déterminer l'énergie E_(etirem) associée à l'étirement ΔL du cylindre en fonction des données du problème.
  • -En déduire une expression de l'énergie d'étirement par unité de volume e_(etirem), sous la forme
    e_(etirem) = α((ΔL)/L)^2,
    avec α une constante que l'on précisera.

C.3. Flexion et longueur de persistance

C.3.1. Énergie de courbure

Figure 10 - Tige élastique de longueur L courbée. La courbure est uniforme, le rayon de courbure est noté R. À gauche, on a une vue en coupe de la section de la tige, à droite une vue de côté.

• 55.Déterminer la largeur w(z) de la tige à la hauteur z.
  En déduire le volume dv(z) de la tranche de tige comprise entre les hauteurs z et z + dz. Pour cette question, on néglige toute variation de la longueur L avec z.
• 56.Déterminer la longueur L(z) de la tranche de tige de hauteur z et en déduire l'allongement ΔL(z) correspondant.
• 57.En intégrant e_(etirem) sur tout le système, montrer que l'énergie de courbure de la tige s'écrit
  E_(flexion) = 1/2B1/(R^2)L,
  Avec B une constante que l'on exprimera sous la forme B = κY.
  Certains éléments de calcul sont donnés en préambule.
• 58.En s'appuyant sur les données de la Figure 1 montrer que, pour l'ADN, la constante κ vaut 0, 78 × 10^(− 36) S.I.
• 59.Discuter la dépendance de la rigidité d'une tige élastique de son diamètre. Par exemple, quelle serait la rigidité de l'ADN si son diamètre devait doubler?
• 60.Déduire de l'Équation 12 une expression pour l'énergie de courbure par unité de longueur, e_(flexion), en fonction de R. L'exprimer ensuite en fonction de l'angle du secteur circulaire θ (voir Figure 10).

C.3.2. Fluctuations thermiques

• 61.Évaluer l'amplitude angulaire √(⟨θ^2⟩) des fluctuations spontanées d'une tige élastique dues à un mouvement thermique en utilisant le théorème d'équipartition. Determiner l'expression de la longueur caractéristique L = L_P pour laquelle ces fluctuations sont de l'ordre de 1rad^2 à température ambiante.
  La longueur L_P s'appelle longueur de persistance.

C.4. Retour sur le « modèle du ver » et comparaison avec le modèle de chaîne librement jointe