Agrégation physique externe 2026, épreuve 3Sujet

AGREGATION
CONCOURS EXTERNE

Section : PHYSIQUE-CHIMIE
Option : PHYSIQUE

PROBLÈME DE PHYSIQUE

INFORMATION AUX CANDIDATS

Ces codes doivent être reportés sur chacune des copies que vous remettrez.

Marée thermique atmosphérique

Données

I Stratification de la troposphère

• 1)Justifier à partir de la composition de l'atmosphère que la masse molaire de l'air vaut M_(air) ≈ 29 g ⋅ mol^(− 1).

• 2)Exprimer l'équation d'état de l'air en fonction de ρ_0, P_0, T_0. On introduira la constante R_(air) = R/M_(air) qui est le rapport de la constante des gaz parfaits R par la masse molaire M_(air). On précisera la valeur numérique de R_(air).
• 3)Justifier que l'indice adiabatique de l'air à température ambiante vaut γ = 1, 4. Dans la suite, nous supposerons cette valeur indépendante de la température.

Figure 1 - Déplacement d'une parcelle d'air dans la troposphère.

• 4)À quelle condition, exprimée en fonction de dρ et dρ_0, l'atmosphère est-elle stablement stratifiée? Justifier.

• 5)Dans le cas de cette transformation, exprimer ρ^′ en fonction de ρ, P, P^′ et γ.
• 6)En déduire, à l'aide d'un développement limité, une expression de dρ en fonction de ρ_0, P_0, dP_0 et γ.
• 7)À partir de l'équation d'état de l'air, établir la relation suivante
  (dρ_0)/(ρ_0) = (dP_0)/(P_0) − (dT_0)/(T_0).
• 8)En déduire que la condition obtenue à la question 4 pour une atmosphère stablement stratifiée peut s'écrire
  [(1/γ − 1)(T_0)/(P_0)(dP_0)/(dz) + (dT_0)/(dz)]dz > 0.
• 9)Sachant que dans la troposphère les gradients de pression et de température sont tous les deux négatifs, justifier que cette couche de l'atmosphère est stablement stratifiée tant que la valeur absolue du gradient de température, |dT_0/dz|, est inférieur à une limite que l'on exprimera en fonction de la valeur absolue du gradient de pression |dP_0/dz| et des autres données du problème.
• 10)Une atmosphère isotherme est-elle stablement stratifiée? Justifier.

I. 1 Atmosphère à stratification neutre

• 11)Montrer que le gradient de température est relié au gradient de pression par la relation
  (dT_0)/(T_0) = κ(dP_0)/(P_0).
  Donner l'expression de κ et vérifier numériquement que κ ≈ 0, 29.
• 12)Exprimer la variation de pression dP_0 en fonction de la variation d'altitude dz. On notera g l'accélération de la pesanteur supposée uniforme sur toute la hauteur de l'atmosphère.
• 13)Déterminer le gradient de température au sol, que l'on notera μ_(sec) = (dT_0/dz)_(z = 0), en fonction de κ, g et R_(air). Faire l'application numérique.
• 14)Comparer la valeur obtenue à la pente de la température au niveau de la troposphère telle que prescrite par l'organisation internationale de standardisation dans la figure 2.

Figure 2 - Profil de température de l'atmosphère standard, telle que définie par l'International Organization of Standardization en 1975, tracé jusqu'à une altitude de 30 km.

I. 2 Air humide

• 15)Étant donné le sens de variation de la température lorsque la parcelle s'élève, indiquer le changement d'état de l'eau dans cette parcelle.
• 16)Cette transformation est-elle endothermique ou exothermique? En déduire l'effet qualitatif de la présence d'humidité dans la parcelle sur le gradient de température au sol.
• 17)Dans le diagramme de phase de l'eau de la figure 3, identifier les différentes phases de l'eau (ETAT 1, ETAT 2 et ETAT 3) et les deux points remarquables A et B. Rappeler le nom des transformations entre chacune de ces trois phases.

Figure 3 - Diagramme de phase de l'eau.

• 18)Dans ce même diagramme, indiquer la courbe de pression de vapeur saturante de l'eau. Par lecture graphique, donner sa valeur à la température de 15 °C.

I. 3 Gradient adiabatique humide

• 19)Montrer que le rapport de mélange saturant est donné par la formule
  r_(sat) = (M_(H_2 O))/(M_(air))(P_(sat))/P,
  et justifier que le rapport des masses molaires vaut M_(H_2 O)/M_(air) ≈ 0, 62.

• 20)En déduire la valeur de r_(sat) à la température de surface moyenne de la Terre T_s = 15^∘C. Justifier l'approximation m_(sec) ≈ m.

• 21)En exprimant la variation d'enthalpie massique dh de deux façons, montrer que
  c_p dT + Δh_v dr_(sat) + g dz = 0,
  avec c_p, la capacité thermique massique à pression constante. On se placera dans le cas où la température T et la pression P de la parcelle restent en équilibre avec la température T_0 et la pression P_0 de l'atmosphère lorsqu'elle s'élève de la quantité dz.
• 22)Montrer que le gradient de température au sol μ_(sat) = (dT_0/dz)_(z = 0) pour un air saturé est donné par l'expression
  μ_(sat) = − g/(c_p)(1 − ρ_0 Δh_v((∂r_(sat))/(∂P))_T)/(1 + (Δh_v)/(c_p)((∂r_(sat))/(∂T))_P).
• 23)Montrer que μ_(sat) = μ_(sec) lorsque le rapport de mélange saturant r_(sat) est constant. Le justifier physiquement.
• 24)Exprimer μ_(sat) en fonction de μ_(sec), r_(sat), T_0, T_(ref), A, Δh_v, R_(air) et c_p.
• 25)La prise en compte de l'humidité telle que décrite par l'équation (7) revient à remplacer la constante κ introduite dans l'équation (3) par une constante effective κ_(sat) = 0, 16. En déduire la valeur numérique de μ_(sat). Entre les modèles d'air sec et d'air saturé, lequel se rapproche le plus du profil de température observé d'après l'Organisation Internationale de Standardisation?

II Déformation de l'atmosphère

II. 1 Décomposition du flux solaire reçu en chaque point de la Terre

Figure 4 - Le flux énergétique provient du soleil S situé à très grande distance dans la direction u_S^(→−). Une surface dS⃗ en un point M de l'équateur reçoit ce flux sous un angle d'incidence α = SOMˆ. Seuls les points de la surface éclairée reçoivent ce flux.

• 26)Déterminer l'expression du flux solaire reçu F(α) défini comme la puissance lumineuse reçu au point M par unité de surface terrestre. On exprimera le résultat en fonction de la constante solaire F_S et de l'angle α. On distinguera le cas où M se situe sur la face éclairée de la Terre de celui où M est dans l'ombre.
• 27)Tracer l'allure du flux F(α) en fonction de l'angle α variant de − π à π.

• 28)Justifier l'absence de termes en sin(nα) dans le développement en série de Fourier du flux F(α).
• 29)Montrer que, dans le problème étudié ici, l'amplitude F^_n associée à une harmonique de rang n ≥ 1 peut s'écrire sous la forme d'une intégrale entre 0 et π/2.
• 30)Calculer F^_1.
• 31)Donner l'expression de F^_n pour n ≥ 2. En déduire que pour tout p ≥ 1,
  F^_(2p + 1) = 0 et F^_(2p) = ((− 1)^(p + 1))/((4p^2 − 1))2/πF_S.
• 32)Justifier que les harmoniques de rang n ≥ 3 sont petites devant le terme fondamental n = 1. On pourra les négliger en première approximation.
• 33)Évaluer numériquement le rapport de l'excitation semi-diurne ( F^_2 ) sur l'excitation diurne ( F^_1 ), c'est-à-dire le rapport F^_2/F^_1.

Figure 5 - Variation journalière de pression en mbar au niveau de l'équateur. Il s'agit d'une donnée moyennée sur une année tracée en fonction de l'angle de phase. La valeur moyenne de la pression a été soustraite afin de ne garder que la partie variable à l'endroit où les mesures ont été prises. Le signal est décomposé en une composante diurne δP_1 = P^_1 cos(α − α_1) et une composante semi-diurne δP_2 = P^_2 cos(2(α − α_2)) (Adaptée de la figure 13 de l'article (Auclair-Desrotour, Laskar et Mathis, 2017, A&A 603, A107)).

• 34)Sous l'effet du flux solaire, l'atmosphère se comporte comme un oscillateur forcé caractérisé par une fréquence propre. À partir de la figure 5 et du résultat de la question précédente, justifier que la période propre est plus proche de la période semi-diurne (12 h) que de la période diurne (24 h).

II. 2 Redistribution de masse

• 35)En chaque point du sol, on note Σ(t) la masse d'atmosphère à l'instant t intégrée verticalement dans un cylindre de section unitaire d'une altitude z = 0 à une altitude z → ∞ :
  Σ(t) = ∫_0^∞ρ(z, t)dz,
  où ρ(z, t) est la valeur de la densité de l'atmosphère à l'altitude z à l'instant t. Exprimer Σ(t), en fonction de la pression de surface P_s(t).
• 36)On pose Σ(α) = Σ^_0 + Σ^_1 cos(α − α_1) + Σ^_2 cos(2(α − α_2)). À l'aide de la figure 5, évaluer numériquement les amplitudes de marée Σ^_1 et Σ^_2 ainsi que les déphasages α_1 et α_2 correspondants.
• 37)Faire un schéma représentant le soleil, la Terre et la composante semi-diurne de l'excès de masse surfacique Σ^_2 cos(2(α − α_2)) à l'équateur à un instant donné sur le modèle de la figure 6. Étant donné le sens de rotation de la Terre, en déduire si le couple de marée tend à accélérer ou à décélérer la rotation de la Terre.
• 38)Vérifier que Σ^_2 ≈ 3, 3Σ^_1≪m_T/R_T^2.

III Couple de marée

Figure 6 - Définition du repère ( G, u⃗_X, u⃗_Y, u⃗_Z ). Est également représenté dans la figure un élément de masse dm situé au point M à l'intérieur de la planète.

III. 1 Développement multipolaire

• 39)Donner l'expression de l'énergie potentielle gravitationnelle dU entre un élément de masse dm de la planète située en M de vecteur position r⃗_M et le soleil S situé en r⃗_S. En déduire l'expression de l'énergie potentielle gravitationnelle totale U d'interaction entre la planète et le soleil sous la forme d'une intégrale sur toute la masse de la planète.
• 40)À partir d'un développement limité à l'ordre 2 en r_M/r_S, montrer que cette énergie potentielle peut s'écrire U ≈ U_0 + U_1 + U_2 avec,
  U_0 = − (Gm_S)/(r_S)∫_(m_T) dm, U_1 = − (Gm_S)/(r_S)∫_(m_T)(r⃗_M ⋅ r⃗_S)/(r_S^2) dm; U_2 = − (Gm_S)/(r_S)∫_(m_T)1/2(3((r⃗_M ⋅ r⃗_S)/(r_S^2))^2 − (r_M^2)/(r_S^2))dm
• 41)Calculer les termes monopolaire et dipolaire U_0 et U_1. Interpréter les résultats obtenus.

• 42)Justifier que pour une distribution sphérique de masse le moment quadrupolaire U_2 est nul.
• 43)L'étoile exerce un couple de marée Γ_(atm) sur la planète selon le vecteur u_Z^(→−). Calculer le travail infinitésimal fourni par ce couple à la planète lorsque cette dernière pivote autour de l'axe u_Z^(→−) d'un angle dβ.

44. Relier ce travail à la variation d'énergie potentielle gravitationnelle d U. En déduire l'expression du couple dans le cas où l'énergie potentielle gravitationnelle est réduite à son terme quadrupolaire, c'est-à-dire, dans le cas où U = U_2.

Figure 7 - a) Distribution de masse pour le modèle dipolaire. b) Distribution de masse pour le modèle quadrupolaire. Les excès de masse sont représentés en noir et les défauts de masse en gris.

III. 2 Terme dipolaire

Figure 8 - Géométrie associée au théorème de Huygens.

46. On note I_(//)le moment d'inertie de la planète P_1 par rapport à l'axe u⃗_X et I_⊥^′ le moment d'inertie par rapport à un axe orthogonal à u⃗_X passant par O. On posera I_0 le moment d'inertie de la planète P_1 en l'absence d'anomalie de masse ( δm_1 = 0 ).

• a)Calculer le moment d'inertie I_(//).
• b)Calculer le moment d'inertie I_⊥^′.
• c)Calculer le moment d'inertie I_⊥ par rapport à un axe orthogonal à u_X^(→−) mais passant le barycentre G de la planète P_1.

III. 3 Terme quadrupolaire

• a)Calculer le moment d'inertie I_(//). Commenter le résultat.
• b)Montrer que le moment d'inertie d'un cercle de masse δm et de rayon R par rapport à un de ses diamètres vaut 1/2δmR^2.
• c)Calculer le moment d'inertie I_⊥.

III. 4 Amplitude du couple de marée actuel

• 49)En vous aidant des questions 38, 46 et 48, justifier que la redistribution de masse dipolaire a un effet négligeable devant la redistribution de masse quadrupolaire sur le potentiel gravitationnel U_2 (équation (12)) de la planète. Dans la suite, on ne considérera que la redistribution de masse quadrupolaire et on prendra β = α_2 où α_2 est défini à la question 36.
• 50)En déduire le potentiel gravitationnel de la planète P_2 à l'ordre quadrupolaire, puis le couple de marée.
• 51)Évaluer numériquement et discuter le signe du couple de marée thermique atmosphérique en vous appuyant sur le résultat de la question 36. Comparer la valeur obtenue à celle du couple de marée océanique actuel Γ_(océan) = − 4, 5 × 10^(16) N ⋅ m.
• 52)Au Précambrien, le couple de marée océanique était réduit d'un facteur 4 et le couple de marée thermique atmosphérique a pu être amplifié par une résonance. Estimer l'amplification résonante nécessaire pour que les deux couples s'annulent mutuellement.

IV Évolution de l'amplitude du couple de marée

• 53)Question préliminaire : détermination de la valeur numérique ψ_0 de la phase ψ à la fréquence de marée actuelle ω_0.
  • a)Lorsque l'insolation δF est maximale à t = 0 au niveau du méridien de Greenwich (φ = 0), d'après l'expression de δP(t, φ), à quelle longitude φ_0 (modulo 180 deg) le maximum de pression est-il atteint? On donnera la réponse en fonction de la phase ψ(ω).
  • b)Cette longitude φ_0 correspond à la phase α_2 de la partie II. En déduire la valeur numérique ψ_0 de ψ à la fréquence de marée actuelle ω_0.

• • - A_0 est une constante réelle qui dépend des propriétés physique de l'atmosphère;
  • - ω_L est la pulsation propre d'oscillation de l'atmosphère. Nous la prendrons égale à 1, 51 × 10^(− 4)rad ⋅ s^(− 1);
  • - ε est un terme de dissipation mal contraint par la théorie. Nous le supposerons petit devant 1 ;
  • - κ est la constante introduite dans la première partie. Nous utiliserons la valeur correspondant à une atmosphère saturée en eau : κ = 0, 16.